热门试卷

（1）证明：连结AC、AC交BD于O，连结EO，

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点，

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO，

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA∥平面EDB。

（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF，

设正方形ABCD的边长为a，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥DC，

∴EF∥PD，F为DC的中点，

∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，

故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，

在Rt△BCF中，

，

∵，

∴在Rt△EFB中，，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为。

(1)证明：∵点O、F分别为线段AC、BC的中点，

∴OF∥AB，

∵OF平面EOF，AB平面EOF，

∴AB∥平面EOF。

(2)解：∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OD，

∵AD=DC，∴OD⊥AC，

∵平面ADC⊥平面ABC，

∴OD⊥平面ABC，

又AB=BC，

∴OB⊥AC， 于是可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

由题可设OA=OB=OC=OD=2a，

∵点E、F分别为线段AD、BC的中点，

∴A(0，-2a，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，0，2a)，

E(0，-a，a)，F(a，a，0)，

∴，

设平面EOF的一个法向量为n1=(x，y，z)，

由得，

取x=-1，则，

∴n1=(-1，1，1)，

设平面OBF的一个法向量为n2=(0，0，1)，

，

∴二面角E-OF-B的大小为。

解：（1）如图，连接A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP，

由E为C1C的中点，A1C1∥CP，

可得A1E=EP

∵D，E分别是A1B，A1P的中点，

∴DE∥BP，

又∵BP平面ABC，DE平面ABC，

∴DE∥平面ABC。

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

F为BC的中点，

∴BC⊥ AF，

又∵B1B⊥平面ABC，

由三垂线定理可得B1F⊥AF

设AB=AA1=2，则B1F=，EF=，B1E=3，

∴B1F2+EF2=B1E2，

∴B1F⊥EF，

∵AF∩EF=F，

∴B1F⊥平面AEF；

（3）如图过F作FM⊥AE于点M，连接B1M

∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可得 B1M⊥AE，

∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角

又C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可得EF⊥AF，

在Rt△AEF中，可求得

在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°

∴

∴二面角B1-AE-F的余弦值为。

（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，

所以O是AC的中点，

又点M是棱BC的中点，

所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，

因为平面ABD，平面ABD，

所以OM∥平面ABD。

（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，

因为，所以∠BOD=90°，OB⊥OD，

又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，

建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，

，

所以，

设平面ABD的法向量为（x，y，z），

则有即：，

令x=1，则，所以，

因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，

平面BOD的法向量与AC平行，

所以平面BOD的法向量为，

，

因为二面角A-BD-O是锐角，

所以二面角A-BD-O的余弦值为。

（Ⅲ）解：因为N是线段BD上一个动点，设，，

则，

所以，

则，

由得，即，

解得或，

所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）。

（Ⅰ）证明：EF∥AB，AB=2EF，可知延长BF交AE于点P，

而FG∥BC，EG∥AC，

则平面平面AEGC，

即P∈平面BFGC∩平面AEGC=GC，

于是BF，CG，AE三线共点，，

若M是线段AD的中点，而，

则，四边形AMGF为平行四边形，则GM∥AF，

又平面ABFE，

所以GM∥平面ABFE；

（Ⅱ）解：由EA⊥平面ABCD，作CH⊥AB，则CH⊥平面ABFE，

作HT⊥BF，连接CT，则CT⊥BF，

于是∠CTH为二面角A-BF-C的平面角。

若AC=BC=2AE，设AE=1，则AC=BC=2，，H为AB的中点，

，，

，

在Rt△CHT中，，

则∠CTH =60°，

即二面角A-BF-C的大小为60°。

解：（1）连接，E、F分别为、DB的中点，则EF∥，

又平面，EF平面，

∴EF∥平面。

（2）正方体中，AB⊥平面，则，

正方形中，，

又=B，AB、，

则，

所以，

又EF∥，

所以EF。

（3） ∵AE=EC，F为AC的中点，

∴EF⊥AC，由（1）知EF⊥平面，

∴。

解：(1)在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，

∴EF∥AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，

∴AB∥平面DEF。

(2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，

∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，

∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，

如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD，

∴EM⊥平面BCD，

过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，

∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，

易知，在Rt△EMN中，EM=1，，

∴。

(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，

证明如下：如图（甲），在线段BC上取点P，使，

过P点作PQ⊥CD于点Q，连接AQ，

∴PQ⊥平面ACD，

∴PQ⊥DE，

，且AD=2，

∴∠DAQ=30°，

又△ADE为等边三角形，

∴AQ⊥DE，

又AQ∩PQ=Q，

∴DE⊥平面APQ，

∵AP平面APQ，

∴AP⊥DE．

（1）证明：四棱柱中，，

又面，

所以平面，

ABCD是正方形，所以CD∥AB，

又面，

所以CD∥平面，

所以，平面平面，

所以，平面。

（2）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为平面ABCD，所以，，，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，

在中，由已知可得，

所以，，

，，

因为平面ABCD，

所以平面，，

又，

所以平面，

所以平面的一个法向量为，

设与n所成的角为β，

又，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为。

解：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD。

以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，

设底面边长为2，则高，

所以，

∴，

∴，故OC⊥SD，即AC⊥SD。

（2）由题意知，平面PAC的一个法向量，

平面DAC的一个法向量为，

设所求的二面角为θ，

则，

所求二面角的大小为30°。

（3）在棱SC上存在一点E使BE∥面PAC，

由（2）知是平面PAC的一个法向量，

且，，

设，

则，

而，

从而SE：EC=2：1时，，

又BE不在平面PAC内，

故BE∥面PAC。