热门试卷

（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连结OM，

在矩形ABCD中，，

又，则，

连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形，

∴FO∥EM，

又平面CDE，且EM平面CDE，

∴FO∥平面CDE。

（Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，

EM⊥CD，且，

又，

因此，平行四边形EFOM为菱形，

过E作EG⊥OM于G，

∵CD⊥EM，CD⊥OM，

∴CD⊥平面EOM，∴CD⊥EG，

因此，EG⊥平面ABCD，所以，∠EGC为EC与底面ABCD所成角，

在△EOM中，，则△EOM为正三角形，

∴点E到平面ABCD的距离为，

所以，，

即EC与平面CDF所成角的正弦值为。

证明：（1）连接OM，在正方形ABCD中，OB=OD，又M为PB的中点，

∴PD∥OM，

∵OM面ACM，PD不在面ACM内，

∴PD∥面ACM。

（2）∵PA=PC，OA=OC，

∴PO⊥AC，

同理PO⊥BD，

又AC∩BD=O，

∴PO⊥面ABCD。

（3）∵PO⊥面ABCD，

∴PO⊥AC，

在正方形ABCD中，DB⊥AC，

又DB∩PO=O，

∴AC⊥面BDP，

∵AC面ACM，

∴面ACM⊥面BDP。

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，

在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2，知PA⊥AB，

同理，PA⊥AD，

所以PA⊥平面ABCD；

因为

，

所以共面，

又PB平面EAC，

所以PB∥平面EAC。

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，

作GH⊥AC于H，连结EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角，

又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

，

所以。

（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG，

可得四边形BCGE为矩形，

又ABCD为矩形，

所以，从而四边形ADGE为平行四边形，

故AE∥DG，

因为平面DCF，平面DCF，

所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH，

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，

得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，

所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，

在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，

所以，

又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3，

于是BH=BE·sin∠BEH=，

因为AB=BH·tan∠AHB，

所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°。

解：（1）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点

∴ED∥FD，且EB=FD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴EF∥ED

∵BD平面AED，而BF平面AED

∴BF∥平面AED。

（2）点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，

过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD

∵△ACD为正三角形

∴AC=AD，

∴GC=GD，

∴G在CD的垂直平分线上，

又∵EF是CD的垂直平分线

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，

∴AC=

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴

∴。

证明：(1)连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点，

∵点F为A1D的中点，

∴A1B∥FO，

又A1B平面AFC，FO平面AFC，

∴A1B∥平面AFC；

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接B1D，

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，

∴AC⊥平面B1BD，

∴AC⊥B1D，

又∵CD⊥平面A1ADD1，AF平面A1ADD，

∴CD⊥AF，

又∵AF⊥A1D，

∴AF⊥平面A1B1CD，

而AF平面AFC，

∴平面A1B1CD⊥平面AFC。

(Ⅰ)证明：取A'D的中点G，连结GF，GE，

由条件易知，

所以FC∥BE，FG=BE，

故四边形BEGF为平行四边形，

所以BF∥EG，

因为EG平面A′DE，BF平面A′DE，

所以BF∥平面A′DE。

(Ⅱ)在平行四边形ABCD中，设BC=a，

则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，连结CE，

因为∠ABC=120°，

在△BCE中，可得CE=a，

在△ADE中，可得DE=a，

在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，

在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE，

由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE，

取A′E的中点N，连结NM，NF，

所以NF⊥DE，NF⊥A′M，

因为DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE，

则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角，

在Rt△FMN中，，

则，

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为。

(Ⅰ)根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD于F，A′D= A′B，

∴F为BD的中点，

又E为BC的中点，

∴EF∥CD，

∴EF∥平面A′CD。

(Ⅱ)∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，

∴A′F⊥平面BCD，

∴∠A′EF为直线A′E与平面BCD所成的角，

设正方形ABCD边长为a，则，

∴，

∴直线A′E与平面BCD所成角的余弦值为。

(Ⅲ)连结FC，有，∴，

∴A′B=BC=A′C=A′D=CD=a，

取A′C的中点为M，则BM⊥A′C，DM⊥A′C，

∴∠BMD为二面角B-A′C-D的平面角，

∵△A′BC和△A′DC都为正三角形，

∴，

∴，

∴二面角B-A′C-D的余弦值为。

(Ⅰ)证明：在长方体中，，

又∵平面，平面，

∴直线平面。

(Ⅱ)证明：在长方形ABCD中，∵，AD=2，

∴，∴，故AE⊥DE， 

∵在长方形ABCD中，有平面ABCD，平面ABCD，

∴AE，

又∵，

∴直线AE⊥平面，

而平面，

所以，平面⊥平面。

(Ⅲ)解：。