热门试卷

解：（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HC，

AD面ACD，

∴AD∥HG

同理EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∵三棱锥A-BCD是正三棱锥，

∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，

∴DO⊥BC

∴AD⊥BC

∴HG⊥EH

∴四边形EFGH是矩形；

（2）当时，平面PBC⊥平面EFGH

证明如下：作CP⊥AD于P点，连接BP，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，

∴HC⊥面BCP，

∵HG面EFCH，

∴面BCP⊥面EFGH，

在Rt△APC中 ，∠CAP=30° ，AC=a，

∴。

解：（1）如图，过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC

又∵FH∥EA

∴FH∥DC

而F是EB的中点，

∴FH=AE=DC

∴四边形CDFH是平行四边形

∴DF∥HC

又HC平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC； 

（2）△ABC为正三角形，H为AB中点，

∴CH⊥AB

∵EA⊥平面ABC，CH面ABC，

∴CH⊥EA

又∵EA∩AB =A，EA、AB平面EAB，

∴CH⊥平面EAB

∵DF∥CH，

∴DF⊥平面EAB

∴AF为DA在平面EAB上的射影，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，

在Rt△AFD中，，

所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为。 

(1)证明：连接OE，在△B1BD中，

∵E为BB1的中点，O为BD的中点，

∴OE∥B1D，

又∵B1D平面AEC，

∴直线B1D∥平面AEC。

(2)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴B1B⊥AC，

∵BD⊥AC，且BB1∩BD=B，

∴B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，

∵AC∩AD1=A，

∴B1D⊥平面D1AC。

(3)解：。

解：（1）取BC的中点为F，则有PB∥平面DEF

∵PB∥EF

PB不在平面DEF内

∴ PB∥平面DEF；

（2）因为是等边三角形，

所以可得。

如图，取中点D，连结，

∴，

∴平面

∴。

（3）∵PD=，CD=2，PC=3

∴

即三棱锥体积为。

证明：在正方体中，连结AC交BD于点O，连结EO，

则有O为AC的中点，又E是的的中点，

∴EO是△A1AC为的中位线，

∴，

∵平面BED，平面BED，

∴平面BED。

证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，

在△CPA中，EF∥PA，

且PA平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD。

（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PA，

又PA=PD= AD，

所以△PAD是等腰直角三角形， 且，即PA⊥PD，

又CD∩PD=D，

∴PA⊥平面PDC，

又PA平面PAD，

∴平面PAD⊥平面PDC。

解：（1）证明：连结B，则四边形DABE为正方形

∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1∴四边形A1D1EB为平行四边形

∴D1E∥A1B

又D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，

∴D1E∥平面A1BD。

（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）

∴

设n=（x，y，z）为平面A1BD 的一个法向量，由

得

取z=1，则n=（-2，2，1）

又

设m=（x1，y1，z1）为平面C1BD的一个法向量

由

得

取z1=1，则m=（1，-1，1）

设m与n的夹角为α，二面角A1-BD-C1为θ，显然θ为锐角

∴

∴

即所求二面角A1-BD-C1的余弦值为。

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）（方法一）连结AC，BD交于O点，连结GO，FO，EO，

∵E，F分别为PC，PD的中点，

∴EF//CD，且EF=CD，同理GO//CD，且GO=CD，

∴EF// GO， ∴四边形EFOG是平行四边形，

∴EO平面EFOG，

又在三角形PAC中，E，O分别为PC，AC的中点，

∴PA∥EO，EO平面EFOG，PA平面EFOG，

∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG。

（方法二）如图以D为原点，以为方向向量，

建立空间直角坐标系D-xyz，

则有关点及向量的坐标为：，

，

，

设平面EFG的法向量为，

∴ ，

取，

∵，

∴，

又平面EFG，

∴AP∥平面EFG.

（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，

又∵PD⊥面ABCD，

∴AD⊥PD，

又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，

∴向量是平面PCD的一个法向量，，

又由（Ⅰ）方法二，知平面EFG的法向量为，

∴

 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°。

证明：（1）记BD的中点为O，连结OE，

由O，E分别为AC，CP中点，得OE∥PA，

又OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB。

（2）由PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，

又CD⊥BC，

∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC，

由PD=DC，E为PC的中点，故DE⊥PC，

∴DE⊥平面PCD。