热门试卷

证明：∵D、E分别为PA、PB的中点，

∴DE∥AB，

又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

同理，EF∥平面ABC，

且DE∩EF=E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，

∴平面DEF∥平面ABC；

又平面PMC∩平面ABC=MC，平面PMC∩平面DEF=NF，

∴NF∥MC．

证明：∵，分别为，的中点，

∴

又∵，且BC∥AD，

∴∴四边形为平行四边形．

解：（Ⅰ）证明：取EC中点F，连接MF，BF．

∵MF为△CDE的中位线，

∴；

又∵，

∴NB∥MF，NB=MF

∴四边形NBFM为平行四边形，

∴MN∥BF，又∵BF⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，

∴MN∥平面BEC；

（Ⅱ）∵MN∥平面BEC，

∴

∵AB⊥AD，AB⊥AE，

∴AB⊥平面EAD，

∴AB⊥AM，

则

∵CD∥AB，

∴CD⊥平面EAD，故CD⊥DM，

则

在△BMC中，，

∴

∴（其中h表示点E到平面BMC的距离），

即，

解得，，

即点E到平面BMC的距离为．

解：（Ⅰ）由于三棱柱的正视图和侧视图均为矩形，∴该三棱柱是直三棱柱，

在俯视图中，A1C1=3，B1C1=4，A1B1=5，∴，

∴△A1B1C1为直角三角形，

∴．

（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BC1，交B1C于O，

连接OD，由于D为AB的中点，则OD为△BAC1的中位线，

∴OD∥AC1．

∵AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（1）证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．

∵AQ=3QC，

∴QF∥AD，且QF=AD，

∵O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，

∴OP∥DM，且OP=DM，

又点M是AD的中点，

∴OP∥AD，且OP=AD

∴OP∥FQ，且OP=FQ

∴四边形OPQF是平行四边形，

∴PQ∥OF，

又∵PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，

∴PQ∥平面BCD．

（2）解：过M做MK⊥AC，交AC于点K，连结BK，

∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，

∴BC⊥平面ADC，

又∵BC⊂平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC，

∵平面ACD∩平面ABC=AC，MK⊥AC，

∴MK⊥平面ABC，

∴∠MBK就是所求，

在Rt△BDM中，BD=2，MD=1

∴BM=3，

∵在Rt△AMC中，AM=1，AC=2，且AC•MK=AM•CD，

∴MK=，

∴在Rt△MKB中，cos∠MBK===．

解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，又由题设知E为PC的中点，故EH是三角形PAC的中位线，故EH∥PA，

又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以，PA∥平面BDE．

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以，PD⊥AC．

由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．

（3）四棱锥P-ABCD的体积为 ==2．

证：设AC∩BD=O，连OQ．

（1）∵ABCD为菱形，∴O为AC中点，又Q为PA中点．

∴OQ∥PC （5分）

又PC⊄平面QBD，OQ⊂平面QBD，

∴PC∥平面QBD （7分）

（2）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，（9分）

又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD （12分）

又PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC又BD⊂平面QBD

∴平面QBD⊥平面PAC （14分）