热门试卷

（1）证明：∵EF∥AD，AD∥BC，

∴EF∥BC且EF=AD=BC，

∴四边形EFBC是平行四边形，

∴H为FC的中点，

又∵G是FD的中点，

∴HG∥CD，

∵平面CDE，平面CDE，

∴GH∥平面CDE。

（2）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD，

∴FA⊥平面ABCD，

∵BC=6，

∴FA=6，

又∵，，

∴BD⊥CD，

∴，

∴。

解：（1）∵O，D分别是AB，PB的中点，

∴，

，

∴OD∥平面PAC；

（2）连结OC，OP，

，O为AB的中点，AB=2，

∴OC⊥AB，OC=1，

同理，，

又，

∴，

∴，

∴PO⊥OC，

，

∴，

，

∴平面PAB⊥平面ABC；

（3）由（2）可知OP垂直平面ABC，

∴OP为三棱锥P-ABC的高，且OP=1，

∴。

证明：(1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1，

在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1=AO，

∴四边形AOC1O1为平行四边形，

∴C1O∥AO1，

∵C1O平面AB1D1，AO1平面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1。

(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，

∴A1A⊥B1D1，

∵四边形A1B1C1D1为菱形，

∴B1D1⊥A1C1，

∵A1C1∩AA1=A1，A1C1平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

∴B1D1⊥平面ACC1A1，

∵B1D1平面AB1D1，

∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1。

证明：(1)如图，连接A1C，设A1C交AC1于点O，连接OD，

因为四边形ACC1A1为正方形，所以O为A1C的中点，

又D为BC的中点，

所以OD为△A1BC的中位线，

所以A1B∥OD，

因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1。

(2)由(1)可知，C1A⊥CA1，

因为侧面ABB1A1是正方形，AB⊥AA1，且∠BAC=90°，

所以AB⊥平面ACC1A1，

又AB∥A1B1，

所以A1B1⊥平面ACC1A1，

又因为C1A平面ACC1A1，所以A1B1⊥C1A，

所以C1A⊥平面A1B1C，

又B1C平面A1B1C，

所以C1A⊥B1C。

（Ⅰ）证明：连接BD，MO，

在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，

又M为PD的中点，所以PB∥MO。

因为平面ACM，平面ACM，

所以PB∥平面ACM。

（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，

所以，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PO⊥AD，

而AC∩PO=O，

所以AD⊥平面PAC。

（Ⅲ）解：取DO的中点N，连接MN，AN，

因为M为PD的中点，

所以MN∥PO，且，

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，

在Rt△DAO中，，

所以，

从而，

在Rt△ANM中，，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为。

证明：（1）取PC的中点F，连接BF，EF，

在三角形PCD中，因为E，F是中点，

∴EF∥CD，EF=CD，

而AB∥CD，AB=CD，

所以四边形ABFE为平行四边形，

∴AE∥BF，

又∵BF面BPC，AE面BPC，

∴AE∥面BPC。

（2）∵AB⊥面BPC，AB∥CD，

∴CD⊥面BPC，

又∵BF面BPC，

∴CD⊥BF，

又因为△PBC是正三角形，F为PC的中点，

∴BF⊥PC，而PC∩CD=C，PC面DPC，CD面DPC，

∴BF⊥面DPC，

∵AE∥BF，

∴AE⊥面DPC。

证明：（1）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE//AC1，

∵DE平面CDB1，而AC1平面CDB1，

∴AC1//平面CDB1。

（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC，                       ①

又侧棱垂直于底面ABC，

∴CC1⊥AC，                     ②

又BC∩CC1=C，                  ③

由①②③，得AC⊥面BCC1，

又BC1平面BCC1，

∴AC⊥BC1。

证明：（Ⅰ）作BE的中点G，连接GF，GD，∴GF为三角形BCE的中位线，

∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，…（5分）

∴四边形GFAD为平行四边形，

∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，

∴AF∥平面BDE．…（7分）

（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）

∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCE．…（12分）

（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，

∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，

∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，…（14分）

∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，

即AB为四棱锥B-ACED的高，

∴VB-ACED=•SACED•AB=××（1+CE）×1×1=．…（15分）

解：（Ⅰ）如图连接BD

∵M，N分别为PB，PD的中点，

∴在PBD中，MN∥BD

又MN平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）如图建系：A（0，0，0），P（0，0，），M（，，0），N（，0，0），C（，3，0）

设Q（x，y，z），

则

∵，

∴

由，得：

即：

对于平面AMN：设其法向量为

∵

则． 

 ∴

同理对于平面AMN得其法向量为

记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为，

则

∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为。