热门试卷

证明：(1)∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD=O，

∴O是BD的中点，

又点F为DC1的中点，则在△DBC1中，OF∥BC1，

∵OF平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，

∴OF∥平面BCC1B1；

(2)∵四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，

又BD⊥AA1，AA1∩AC =A，且AA1、AC平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD平面DBC1，

∴平面DBC1⊥平面ACC1A1。

解：（1）取CD的中点M，连接EM，BM，则四边形ABCD为矩形

∴

又∵

∴平面EBM∥平面APD

而平面EBM

∴BE∥平面PAD；

（2）连接AC，BD，AC与BM交于点O，连接EO，则EO⊥AC，EO=

∴平面ABCD

∴。

解：（1）设AC与BD交于点G

因为EF∥AG，且

所以四边形ACEF为平行四边形，

所以AF∥EG

因为EG平面BDE，AF平面BDE，

所以AF∥平面BDE；

（2）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，

所以CE⊥平面ABCD

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz

则，，，

所以，

所以

所以CF⊥BE，CF⊥DE，

所以CF⊥平面BDE； 

（3）由（2）知是平面BDE的一个法向量，

设平面ABE的法向量n=（x，y，z），则

即

所以x=0，且

令y=1，则

所以

从而

因为二面角A-BE-D为锐角，

所以二面角A-BE-D的大小为。 

（1）证明：连接AN并延长交BC于E，连接PE，

则由AD∥BC，得，

，

，

∴MN∥PE，

又平面PBC，平面PBC，

∴MN∥平面PBC。

（2）解：由PB=BC=PC=13，得∠PBC=60°；

由，知，

由余弦定理可得，，

。

解：（1）∵平面，平面

∴，

平面平面

于是，

设分别为的中点，连结，

有

∴，

于是

由，得，

故，与共面

过点作平面于点O，

则，连结，

于是，，

∴

∵，

∴

∵，

∴

所以点O在BD上，故与共面。

（2）证明：∵平面，

∴，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

∴平面

又平面过AC，

∴平面平面。

（3）∵直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有

过点A在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角

根据勾股定理，有

∵，有，，，

，

，

二面角的大小为。

解：（1）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点

∴ED∥FD，且EB=FD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∴EF∥ED

∵BD平面AED，而BF平面AED

∴BF∥平面AED。

（2）点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，

过点A用AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD

∵△ACD为正三角形

∴AC=AD，

∴GC=GD，

∴G在CD的垂直平分线上，

又∵EF是CD的垂直平分线，

∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。

过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF

在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，

∴AC=

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴

∴。

(1)怎么：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，

∵E，F分别为PC，PD的中点，

∴EF∥CD，

∵G，H分别是BC，AD的中点，

∴GH∥CD，

∴EF∥CH，∴E，F，H，G四点共面，

∵F、H分别为DP，DA的中点，

∴PA∥FH，

∵PA面EFG，FH面EFG，

∴PA∥面EFG。

(2)解：由题意易得GC⊥面PCD，

∴三棱锥P-EFG可以GC为高，△PEF为底，

，

∴，

，

∴。

证明：(1)∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD=O，

∴O是BD的中点，

又点F为DC1的中点，则在△DBC1中，OF∥BC1，

∵OF平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，

∴OF∥平面BCC1B1；

(2)∵四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，

又BD⊥AA1，AA1∩AC =A，且AA1、AC平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD平面DBC1，

∴平面DBC1⊥平面ACC1A1。

证明：(1)如图，连接AC，则F是AC的中点，

因E为PC的中点，

故在△CPA中，EF∥PA，

又PA平面PAD，EF平面PAD，

所以EF∥平面PAD。

(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，

又，

所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°，即PA⊥PD，

又CD∩PD=D，

所以PA⊥平面PCD，

又PA平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PCD.