热门试卷

（1）证明：∵AE=PE，AF=BF，

∴EF∥PB，

又PB平面PBC，EF平面PBC，

∴EF∥平面PBC。

（2）解：在面ABCD内作过F作FH⊥BC于H，

∵PC⊥面ABCD，PC面PBC，

∴面PBC⊥面ABCD，

又面PBC∩面ABCD=BC，FH⊥BC，FH面ABCD，

∴FH⊥面ABCD，

又EF∥面PBC，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH。 

在直角三角形FBH中，， 

，

故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，等于。

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长BC=3，BA=4AB=5，

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC1。

（Ⅱ）证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE//AC1，

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1//平面CDB1。

（Ⅲ）解：∵DE//AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角，

在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，

∴，

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值是。

证明：（Ⅰ）连结AC，则AC∥EF，

∴∥AC，

∴EF∥，

∴EF// 面A1C1B。

（Ⅱ）连结，则，

∵，

∴，

∴，

同理可证：，

∴B1D⊥平面A1C1B。

证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC

∴AE∥BD 而AE平面BCD，BD平面BCD

∴AE∥平面BCD

（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC

∴平面BCD⊥平面ABC

在平面BCD中过点M作MN⊥BC，垂足为N

则有MN⊥平面ABC，MN∥BD,

∴且MN∥AE

过N作NG⊥AB于G，连接MG，则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角

在四边形AEMN中

∵∠EAN=∠ANM=∠NME=

∴四边形AEMN为矩形

∴MN=AE=1

∴M为CD的中点，N为BC的中点

在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC=

∴tan∠MGN=

证明：（1）G是AE，DF的交点，

∴G是AE中点，

又H是BE的中点，

∴△EAB中，GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥CD，

又∵CD平面CDE，GH平面CDE

∴GH∥平面CDE

（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

∵ED⊥AD，ED平面ADEF

∴ED⊥平面ABCD，

∴ED⊥BD，

又∵BD⊥CD，CD∩ED=D

∴BD⊥平面CDE．

解：（1）取PA的中点E，连接BE、EM，

则EM与BC平行且相等，

∴四边形BCME是平行四边形．

∴MC∥BE，

又MC面PAB，BE面PAB，

∴MC∥平面PAB

（2）如图过Q作QF∥PA交AD于F，

∴QF⊥平面ABCD．

作FH⊥AC，H为垂足．

连接QH

∴∠QHF是二面角Q﹣AC﹣D的平面角．

设AF=x，

∴AH=FH=x，

FD=2﹣x．

又=，

∴QF=，

在Rt△QFH中，tan∠QHF===，

∴x=1．当Q为棱PD中点时，二面角Q﹣AC﹣D的正切值为．

（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，

∴EF∥AD．

又∵ABCD为正方形，

∴BC∥AD，

∴BC∥EF．

又∵BC平面EFG，EF平面EFG，

∴BC∥平面EFG         

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．

又∵EF∥AD，PA⊥AD，

∴EF⊥AE．

又∵，

∴=．

证明：（1）设N是OA的中点，连接MN，NB，

因为M是OD的中点，

所以MN∥AD，且2MN=AD，

又AD∥BC，AD=2BC，

所以MNBC是平行四边形，

所以MC∥NB，

又MC 不在平面OAB上，

NB平面OAB，

所以直线MC∥平面OAB；

（2）设H是BD的中点，连接AH，

因为AB=AD，所以AH⊥BD，

又因为OB=OD，所以OH⊥BD

所以BD⊥面OAH

所以BD⊥OA.

证明：（1）证明：取CD中点M，连接OM．  

在矩形ABCD中，OM∥BC，且 OM=BC，

又 EF∥BC，且 EF=BC，

则 EF∥OM，EF=OM，

连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．

∴FO∥EM．

又FO不在平面CDE内，且 EM在平面CDE内，

∴FO∥平面CDE．

（2）证明：连接FM，由（1）和已知条件，

在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，

且 EM=CD= BC=EF，

因此，平行四边形EFOM为菱形，

从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．

而FM∩CD=M，

所以，EO⊥平面CDF．