热门试卷

解：（1）在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，

所以EF∥AD

又AD平面ACD，EF平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD。

 （2）在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，

所以EF⊥BD

在△BCD中，因为CD=CB，F为BD的中点，

所以CF⊥BD

因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，

所以BD⊥平面EFC

又因为BD平面BCD，

所以平面EFC⊥平面BCD。

（Ⅰ）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO，

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点，

在中，EO是中位线，

∴PA∥EO，

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB。

（Ⅱ）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，

∴，

∵PD=DC，

可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴，                       ①

同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC，

而DE平面PDC，

∴，                      ②

由①和②推得平面PBC，

而PB平面PBC，

∴，

又且，

所以PB⊥平面EFD。

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥面SBD，

所以AC⊥SD．

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，设正方形ABCD的边长为a，

则SD=a，OD=a，可得PD=a，

故可在SP上取一点N，使PN=PD，

过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．

在△BDN中知BN∥PO，

又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，

得BE∥面PAC，

由于SN：NP=2：1，

故SE：EC=2：1．

连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，

则有FGDD1，BEDD1，

∴FGBE，可得四边形BEFG为平行四边形．

∴EF∥BG．

∵EF⊄平面A1BD，BG⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．

同理可得B1C∥平面A1BD，而向量是平面A1BD内的向量

∴向量、、都与平面A1BD平行．

由此可得：将向量、、作适当的平移后，可以共面于平面A1BD

即、、是共面向量．

证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，

故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）

∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD…（6分）

（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

所以，CD⊥平面PAD，

∵PA⊂平面PAD，

∴CD⊥PA

又PA=PD=AD，

所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD

又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，

又PA⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）

解：（1）证明：连接D1C与DC1交于点F，连接EF

因为E为BC的中点，F为DC1的中点．

所以EF∥BD1

又 EF平面C1DE，BD1平面C1DE

所以BD1∥平面C1DE

（2）由于点F到平面ABD的距离为1

故三棱锥A﹣BDF的体积．

解：（Ⅰ）直线PC∥平面EBD

证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接EO

∵四边形ABCD是正方形，

∴O是AC的中点

∵E是PA的中点，

∴EO∥PC

PC平面EBD，EO平面EBD，

∴PC∥平面EBD

（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD

∵BD⊥AC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC

∴BD⊥AO，BD⊥EO，

∴∠EOA是二面角E﹣BD﹣C的平面角

设AB=1，则PA== ，EA= =AO

在Rt△EAO中，∴∠EOA=45°

∴二面角E﹣BD﹣C的平面角为45°．

解：（1）在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，

所以EF∥AD

又AD平面ACD，EF平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD。

 （2）在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，

所以EF⊥BD

在△BCD中，因为CD=CB，F为BD的中点，

所以CF⊥BD

因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，

所以 BD⊥平面EFC

又因为BD平面BCD，

所以平面EFC⊥平面BCD。

解：（1）取AD的中点Q，连接EO，则EO是△PAD的中位线，得EO∥PA，

故EO⊥平面ABCD．

EO是四棱锥E﹣ABCD的高，

．

（2）取PC的中点G，连接EG、FG，

由中位线得EG∥CD，EG=，

∴四边形AFGE是平行四边形，

由直线AE∥平面PFC．