热门试卷

解：以为原点，B，C，A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，

则（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）

（1）在△PA中，D=A，则D（0，1，）

∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）

设平面BD的一个法向量为=（a，b，c）则

令c=﹣1，则=（1，，﹣1）

∵·=1（﹣1）+2+（﹣1）0=0

∴P平面BD

（2）由（I）知平面BD的一个法向量=（1，，﹣1）

又=（1，0，0）为平面AD的一个法向量

∴cos＜，＞===

故二面角A﹣D﹣B的平面角的余弦值为

证明：①因为AA1∥CC1，AA1⊥平面ABC，

所以CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，

则CC1⊥AD，又DC1⊥AD，CC1∩DC1=C1

所以AD⊥平面BCC1B1．

②连接A1C交AC1于点O，连接OD，O为AC1的中点，由（1）知AD⊥BC，

又△ABC为正三角形，所以D为BC的中点，OD为△A1BC的中位线．故OD∥A1B

又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

解：（Ⅰ）①平行；②垂直；

（Ⅱ）连接BD交AC于O，连接SO，

则PD∥SO，因为PD⊥平面ABCD，

所以SO⊥平面ABC，即SO是三棱锥S-ABC的高，

由于SO=，S△ABC=

所以三棱锥S-ABC的体积。

（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

又平面ABC，

∴CF⊥BB1。 

（2）解：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

又平面ABC，

∴，

，

∴AC⊥BC，

，

∴AC⊥平面ECBB1，

∴，

∵E是棱CC1的中点，

∴，

∴，

∴。

（3）解：CF∥平面AEB1；

证明如下：取AB1的中点G，

连结EG，FG，

∵F，G分别是棱AB、AB1中点，

∴，

又，

∴，

∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，

又平面AEB，平面AEB1，

∴CF∥平面AEB1。

证明：（1）∵E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA的中点，

∴EH∥CD，FG∥CD，

∴EH∥FG，因此，E，F，G，H共面，

∵EH∥CD，平面EFGH，EH平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH。

（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，

△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，

∵CQ∥平面EFGH，平面PCQ，

∴CQ∥MN，

∵EF是△ABC是的中位线，

∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分．

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=H，连接EH，

在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，

又E为PC的中点，

从而EH∥PA，

因为HE平面BDE，PA平面BDE，

所以PA∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC，

由（I）知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD平面PBD，BD平面PBD，

从而AC⊥平面PBD：

（Ⅲ）解：在△BCD中，DC=1，DB=2，∠BDC=45° 得

BC2=12+（2）2﹣2×1×cos45°=5，

∴BC=．

在Rt△PDC中，PC=BC=，DC=1，

从而PD=2，SABCD=2S△BCD=2，

故四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD=．

证明：（Ⅰ）连接BC1和CB1交于O点，连ON．

∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱， ∴O为BC1的中点．又N为棱AB中点，

∴在△ABC1中，NO∥AC1，又NO平面NB1C，AC1不属于平面NB1C，

∴AC1∥平面NB1C；

（Ⅱ）∵ANB1A1是直角梯形，AN=1，A1B1=2，AA1=3，

∴四边形ANB1A1面积为 ，

∵CN⊥平面ANB1A1，∴四棱锥C﹣ANB1A1的体积为 ．

证明：（1）连接 BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，连接FE

在△PAB中，∵G是△PAB的重心，∴MG=MB，

又CE=CB，所以在△BMC中GE||MC，GE⊄平面PAC，MC⊂平面PAC∴GE||平面PAC

（2）在△PAB中，∵G是△PAB的重心，

∴MG=MB，∵PF=PB，∴GF∥PM

又PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，

则GF⊥平面PBC

证明：（1）设PD的中点为E，连AE，NE，

则易得四边形AMNE是平行四边形

则MN∥AE，

MN平面PAD，AE平面PAD

所以MN∥平面PAD

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD

∴PA⊥CD

又AD⊥CD，PA∩DA=A

∴CD⊥平面PAD

∵AE平面PAD

∴CD⊥AE

∵MN∥AE

∴MN⊥DC