热门试卷

取AC中点为G，连接EG，FG，

∴=，=，

又∵，，共面，

∴=+

=+

=（+），

∴与+共线．

（Ⅰ）证明：设，

取BE中点G，连结FG，OG，

所以，，

因为AF∥DE，DE=2AF，

所以，

从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO，

因为，

所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF。

（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，

所以，

因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，

所以△DEF的面积为，

所以四面体BDEF的体积。

证明：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴EF∥PD，

又，

∴直线EF∥平面PCD。

（2）∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，

∴BF⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，

∴BF⊥面PAD，

所以，平面BEF⊥平面PAD。

证明：(Ⅰ)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，

所以EF∥AD，

又AD平面ACD，EF平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD。

(Ⅱ)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，

所以EF⊥BD，

在△BCD中，因为CD=CB，F为BD的中点，

所以CF⊥BD，

因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，

所以BD⊥平面EFC，

又因为BD平面BCD，

所以平面EFC⊥平面BCD．

证明：如图，分别在AB和CD上截取，，

连接，FF1，EF，

长方体AC1的各个面为矩形，

平行且等于AE，平行且等于DF，

故四边形为平行四边形，

∴EE1平行且等于AA1，FF1平行且等于DD1，

平行且等于DD1，

平行且等于FF1，四边形为平行四边形，，

平面ABCD，平面ABCD，

∴平面ABCD。

解：如右图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，

则截面MAC即为所求作的截面．

∵MO为△D1DB的中位线，

∴D1B∥MO，

平面MAC，平面MAC，

平面MAC，

则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面。

（1）证明：直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴。

（2）解：存在点P，P为A1B1的中点可满足要求。

证明：由P为A1B1的中点，有，

，

∴，

∴为平行四边形，

∴，

又，

∴。

(1)如图，取PC中点F，连接EF，BF，

∵E为PD的中点，

∴EF∥DC且EF=DC，

∵AB∥DC且AB=DC，

∴EF∥AB 且EF=AB，

∴四边形ABFE为平行四边形，

∴AE∥BF，

∵AE平面PBC，BF平面PBC，

∴AE∥平面PBC。

(2)∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，

∴AC⊥平面PBD，

∵PD平面PBD，

∴AC⊥PD，

∵AP=AD，E为PD的中点，

∴PD⊥AE，

∵AE∩AC=A，

∴PD⊥平面ACE。

证明：（Ⅰ）∵ 棱柱的每个侧面为正方形， 

∴，

∴三棱柱为正三棱柱，      

连结OD，

∵D为AB中点，O为对面线AB1，A1B交点，

∴OD∥BB1，    

又E为CC1中点，

∴EC∥BB1，

OD∥EC，

∴DCEO为平行四边形，CD∥EO，

又CD平面A1EB，EO平面A1EB， 

∴CD∥平面A1EB。

（Ⅱ）∵AB=AC=CB，    

∴CD⊥AB，

又直棱柱侧面ABB1A1⊥底面ABC，

∴CD⊥平面ABB1A1，CD⊥AB1，

由（Ⅰ）CD∥EO，

∴EO⊥AB1，

又正方形中，A1B⊥AB1，

EO∩A1B=O，EO、A1B平面A1EB，

∴AB1⊥平面A1EB，            

又AB1平面AB1C，

∴平面A1EB⊥平面AB1C。