热门试卷

解：（1）在△BCD中，BC=3，BD=4，CD=5，

∴BC⊥BD，

又∵BC⊥AD，BD∩AD=D，

∴BC⊥平面ABD，

又∵BC平面BCD，

∴平面CBD⊥平面ABD。

（2）∵GF∥平面ABD，FG平面CED，平面CED∩平面ABD=DE，

∴GF∥ED，

∴G为线段CE的中点，

∴=1。

（0）证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA．

∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA，

又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA．

（2）证明：连接AC与BD交于点F，连接NF，∵F为BD的中点，∴NF∥PD，且NF=PD．

又EC∥PD，且EC=PD，∴NF∥EC且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC．

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD∴AC⊥PD，

又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．

证明：取线段CD的中点M，连结ME，MF，

∵E，F分别为AB，SC的中点，

∴ME∥AD，MF∥SD，

又∵ME，MF平面SAD，

∴ME∥平面SAD，MF∥平面SAD，

又∵ME，MF相交，

∴平面MEF∥平面SAD，

∵EF平面MEF，

∴EF∥平面SAD。

证明：证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，

∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，

∴MN∥AB1，

又∵平面PB1C，平面PB1C，

故MN∥面PB1C。

建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）E(0，，)，F(，1，)（2分）

（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为=(x，y，z)，

∵=(0，，)，=(1，2，0)，

∴由，

得，

令y=-1，得=(2，-1，4)（4分）

又=(-，1，)，

∴•=2×(-)+(-1)×1+4×=0，（5分）

⊥，BF⊄平面AEC，

∴BF∥平面AEC．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为=(2，-1，4)，

又=(0，0，1)为平面ACD的法向量，（8分）

而cos＜，＞==，（11分）

故二面角E-AC-D的余弦值为（12分）

（1）证明：“略”；

（2）解：三棱锥E-ABC的体积为。

解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=AD=1；

又BC∥AD，且BC=AD=1，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．

又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）

（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，

连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，

连接DF，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（8分）

在△EAD中，由BC∥AD，BC=AD，知B为AE为中点，∴AE=2，

在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=，AF=．故tan∠AFD==，

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为．…（12分）

解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．…（2分）

（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以=(-1，0，1)，

又平面PAB的法向量可取为=(0，1，0)，∴•=0，即⊥．

又CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）

（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=(x1，y1，z1)．

∵=(1，1，-1)， =(0，2，-1)，∴

不妨取z1=2，则y1=1，x1=1．∴=(1，1，2)．

又平面PAB的法向量为=(0，1，0)．

设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为θ，

则由，的方向可知cosθ===，

∵θ∈（0，π），∴sinθ=，tanθ=．

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为．…（12分）

（1）证明：“略”；

（2）证明：“略”。

（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB

∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．

∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．

连接CE，则CE=CB=，

∵EB=2，∴∠BCE=90°，

∴BC⊥CE．                                                                                     

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE．

∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．                                                      

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                                                     

（2）用反证法．假设EM∥平面ACD．                          

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                         

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．

∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．