热门试卷

证明：连接AC、BD，交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，

∴PD∥MO，

平面MAC，平面MAC，

∴PD∥平面MAC。

（本题满分14分）

（1）因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．   …（3分）

又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，…（5分）

又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．…（7分）

（2）设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．

因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，所以A1B∥EF．    …（11分）

所以=．

又因为==，所以=．  …（14分）

（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．

∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，

∴侧面ABB1A是一正方形．

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB1C中，ED是中位线．

∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（II）证明：∵AC1⊥平面ABD，∴AC1⊥A1B，

又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．

∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．

∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）

（III）由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．

以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是

B（0，0，0），D（，，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，

∴二面角B-A1C1-D的大小为arccos．…（12分）

证明：（Ⅰ）连接OE．

∵O是AC的中点，E是PC的中点，

∴OE∥AP，

又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA∥平面BDE．                                      

（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，

PO⊥BD，

又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，

∴BD⊥平面PAC．                                      

∵BD⊂平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE．

证明：（I）∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD．

∵∠BCD=90°，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，

∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC（2分）

（II）取PC的中点F，连结DF，EF．

，∴EF∥AD，∴EF=AD

∴四边形AEFD是平行四边形．

∴AE∥DF．

又DF⊂平面PDC，AE⊄平面PDC，

∴AE∥平面PDC．（5分）

（III）∵BC⊥平面PDC，DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF

又∵PD=DC，F是PC的中点，∴DF⊥PC，∴DF⊥平面PBC

又∵DF∥AE，∴AE⊥平面PBC

又∵AE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC（7分）

证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，

∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，

∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC，（2分）

∵平面ABC∩平面ACED=AC

∴AB⊥平面ACED，即AB为四棱锥B-ACED的高，（4分）

∵VB-ACED=•SACED•AB=××(1+CE)×1×1=，

∴CE=2，（6分）

作BE的中点G，连接GF，GD，

∴GF为三角形BCE的中位线，

∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，（8分）

∴四边形GFAD为平行四边形，

∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE．（10分）

（Ⅱ）∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，（12分）

∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，

又GD⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCE．（14分）

MN和PB的位置如右图示：（正确标出给1分）

（Ⅰ）证明：∵ND∥MB 且ND=MB

∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN∥DB------------------------（3分）

∵NM⊄平面PDB，DB⊂平面PDB

∴MN∥平面PBD---------------------------------（4分）

（Ⅱ）证明：∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥QC-------------（5分）

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC，--------------------------（6分）

∵AQ⊂面AQC，∴AQ⊥BD，

同理可得AQ⊥PB，

∵BD∩PB=B

∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------（8分）

（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF------------------（9分）

∵在正方体中，PD=PB

∴PE⊥DB---------------------------------（10分）

∵四边形NDBM为矩形

∴EF⊥DB

∴∠PEF为二面角P-DB-M的平面角------------（11分）

∵EF⊥面PMN，∴EF⊥PF

设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

∵EF=a，PF=a，

∴tan∠PEF==-----（14分）

解法2：设正方体的棱长为a，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示：

则点A（a，0，0），P（a，0，a），Q（0，a，a）--------------（9分）

∴=(-a，a，0)，=(-a，a，a)--------------（10分）

∵PQ⊥面DBM，由（Ⅱ）知AQ⊥面PDB

∴、分别为平面PDB、平面DBM的法向量-------------------（12分）

∴cos＜，＞===

∴tan＜，＞=------------------------------------------（14分）]

证明：（1）连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，

则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，

根据线面平行的判定得：

MN∥平面ACC1A1；

（2）由BC⊥AC，BC⊥CC11，则BC⊥平面ACC1A1，

连接AC1，则BC⊥AC1．

∵侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，

又因为MN∥AC1，

根据线面垂直的性质定理得：

MN⊥平面A1BC；

证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．

∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，

∴侧面ABB1A是一正方形．

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB1C中，ED是中位线．

∴B1C∥ED．

又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD，

∴AC1⊥A1B，

又∵侧面ABB1A是一正方形，

∴A1B⊥AB1．

又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1．

∴A1B⊥平面AB1C1．

又∵B1C1⊂平面AB1C1．

∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴BB1⊥B1C1．

又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1．

∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）

（III）∵AB=BC，D为AC的中点，

∴BD⊥AC．

∴BD⊥平面DC1A1．

∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高．

由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．

∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．

又∵AB=BC=1

∴BD=

∴AC=A1C1=

∴三棱锥B-A1C1D的体积

V=•BD•S△A1C1D=•••A1C1•AA1=K=…（12分）