直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．

（1）求证BP⊥AC；

（2）当点P落在什么位置时，AP平行于平面SMC？

（3）求三棱锥B-NMC的体积．

正确答案

解析

解：（1）根据多面体的三视图和直观图，SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AC⊥SD，BD∩SD=D，∴AC⊥面SDB．BP⊂面SDB∴BP⊥AC．

（2）当P为SD中点时，AP∥平面SMC．连接PN，MN，∵M、N分别是AB、SC的中点，∴PN∥CD，PN=CD，AM∥CD，AM=CD，∴AMNP是平行四边形，∴AP∥MN，∵AP⊄面SMC，MN⊂面SMC，∴AP∥平面SMC

（3）S△MCB=×BM×BC==，N到面ABCD的高h=SD=1，

∴V B-NMC=V N-MCB=S△MCB×h==．

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题型：简答题

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简答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，

（Ⅰ）求证：EF∥面A1C1B．

（Ⅱ）求证：B1D⊥平面A1C1B．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接AC，则AC∥EF，

∵AA1∥CC1且AA1=CC1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，∴A1C1∥AC

∴EF∥A1C1，∴EF∥面A1C1B．

（Ⅱ）连接B1D1，则B1D1⊥A1C1．

∵DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1，

∴A1C1⊥平面DD1B1，∴A1C1⊥B1D

同理可证，A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1C1B．

解析

证明：（Ⅰ）连接AC，则AC∥EF，

∵AA1∥CC1且AA1=CC1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，∴A1C1∥AC

∴EF∥A1C1，∴EF∥面A1C1B．

（Ⅱ）连接B1D1，则B1D1⊥A1C1．

∵DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1，

∴A1C1⊥平面DD1B1，∴A1C1⊥B1D

同理可证，A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1C1B．

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题型：简答题

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简答题

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，CC1，D1A1，BB1的中点；

（1）证明：FH∥平面A1EG；

（2）求三棱锥A1-EFG的体积．

正确答案

解：（1）证明：∵FH∥B1C1，B1C1∥A1G，∴FH∥A1G．

又A1G⊂平面A1GE，FH⊄平面A1GE，

∴FH∥平面A1GE

（2）解：连接HA1，HE，HG，由（1）得FH∥平面A1GE，

∴

又=，

∵A1G=．

∴==

解析

解：（1）证明：∵FH∥B1C1，B1C1∥A1G，∴FH∥A1G．

又A1G⊂平面A1GE，FH⊄平面A1GE，

∴FH∥平面A1GE

（2）解：连接HA1，HE，HG，由（1）得FH∥平面A1GE，

∴

又=，

∵A1G=．

∴==

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题型：简答题

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简答题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是对角线AB1、BC1上的点，且=，求证：MN∥平面A1B1C1D1（写出三种作法）

正确答案

证法一：在平面AA1B1B内，作MK∥AB，交BB1于K点，连接KN，

则易知=；

∵=，

∴=，

∴KN∥B1C1，又A1B1∥AB，∴MK∥A1B1．

∴平面MKN∥平面A1B1C1D1，而MN⊂平面MKN，

∴MN∥平面A1B1C1D1．

证法二：连接BM，延长交A1B1于L，连接C1L，

则=，又=，

则=，即有MN∥C1L，

MN⊄平面A1B1C1D1．C1L⊂平面A1B1C1D1．

则MN∥平面A1B1C1D1．

证法三、分别在平面AB1，和平面BC1中，

过M作MH∥BB1，过N作NG∥BB1，

则MH∥NG，由于，

即有MH=NG，则四边形MNGH为平行四边形，

则有MN∥GH，MN⊄平面A1B1C1D1．GH⊂平面A1B1C1D1．

则有MN∥平面A1B1C1D1．

解析

证法一：在平面AA1B1B内，作MK∥AB，交BB1于K点，连接KN，

则易知=；

∵=，

∴=，

∴KN∥B1C1，又A1B1∥AB，∴MK∥A1B1．

∴平面MKN∥平面A1B1C1D1，而MN⊂平面MKN，

∴MN∥平面A1B1C1D1．

证法二：连接BM，延长交A1B1于L，连接C1L，

则=，又=，

则=，即有MN∥C1L，

MN⊄平面A1B1C1D1．C1L⊂平面A1B1C1D1．

则MN∥平面A1B1C1D1．

证法三、分别在平面AB1，和平面BC1中，

过M作MH∥BB1，过N作NG∥BB1，

则MH∥NG，由于，

即有MH=NG，则四边形MNGH为平行四边形，

则有MN∥GH，MN⊄平面A1B1C1D1．GH⊂平面A1B1C1D1．

则有MN∥平面A1B1C1D1．

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G

（Ⅰ）证明：AD∥平面EFGH

（Ⅱ）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E、F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AD∥A1D1，EH∥A1D1，

∴AD∥EH，

∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH

∴AD∥平面EFGH；

（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=，

∴若p最小，则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，

∵EF=a，

∴=a2，

则S△B1EF=≤（B1E2+B1F2）=，当且仅当B1F=B1E时取等号，

此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-=，

则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P==．

解析

（Ⅰ）证明：∵AD∥A1D1，EH∥A1D1，

∴AD∥EH，

∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH

∴AD∥平面EFGH；

（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=，

∴若p最小，则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，

∵EF=a，

∴=a2，

则S△B1EF=≤（B1E2+B1F2）=，当且仅当B1F=B1E时取等号，

此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-=，

则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P==．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点．

（1）求证：SB∥平面EAC；

（2）求证：AC⊥BE．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．

因为底面ABCD是正方形，

所以O是BD的中点．

又因为E是SD的中点，

所以EO∥SB．

又因为EO⊂平面EAC，SB⊄平面EAC，

所以SB∥平面EAC．

（Ⅱ）因为底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD．

因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥SD．

又因为SD∩BD=D，

所以AC⊥平面BDS．

因为BE⊂平面BDS，

所以AC⊥BE．

解析

解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．

因为底面ABCD是正方形，

所以O是BD的中点．

又因为E是SD的中点，

所以EO∥SB．

又因为EO⊂平面EAC，SB⊄平面EAC，

所以SB∥平面EAC．

（Ⅱ）因为底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD．

因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以AC⊥SD．

又因为SD∩BD=D，

所以AC⊥平面BDS．

因为BE⊂平面BDS，

所以AC⊥BE．

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：cm），E为PA的中点．

（1）证明：DE∥平面PBC；

（2）证明：DE⊥平面PAB．

正确答案

解：（1）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF=DC=AB，

故四边形CDEF为平行四边形，

可得ED∥CF．（4分）

ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，

故DE∥平面PBC．（7分）

（2）PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥PD，

又因为AB⊥AD，PD∩AD=D，

AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．（10分）

ED⊂平面PAD，故ED⊥AB，

又PD=AD，E为PA之中点，故ED⊥PA；（12分）

PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴DE⊥平面PAB．（14分）

解析

解：（1）设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF=DC=AB，

故四边形CDEF为平行四边形，

可得ED∥CF．（4分）

ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，

故DE∥平面PBC．（7分）

（2）PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥PD，

又因为AB⊥AD，PD∩AD=D，

AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．（10分）

ED⊂平面PAD，故ED⊥AB，

又PD=AD，E为PA之中点，故ED⊥PA；（12分）

PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴DE⊥平面PAB．（14分）

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题型：简答题

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简答题

如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA∥平面BDE；

（2）平面PAC⊥平面BDE．

（3）若PO=1，AB=2，则异面直线OE与AD所成角的余弦值．

正确答案

证明：（1）连接AC、OE，AC∩BD=O，

在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA∥EO，

又∵EO⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，∴PA∥面BDE．

（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

（3）由（1）知，PA∥EO，

∴∠PAD为异面直线OE与AD所成角．

∵O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD

∴PD==，

PA==，

∴在△APD中，PA=PD，△APD是等腰三角形．

∴cos∠PAD=．

解析

证明：（1）连接AC、OE，AC∩BD=O，

在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA∥EO，

又∵EO⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，∴PA∥面BDE．

（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

（3）由（1）知，PA∥EO，

∴∠PAD为异面直线OE与AD所成角．

∵O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD

∴PD==，

PA==，

∴在△APD中，PA=PD，△APD是等腰三角形．

∴cos∠PAD=．

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题型：简答题

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简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=，PD⊥平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：

（1）CF∥平面PAE；

（2）AE⊥平面PBD．

正确答案

证明：（1）取AB的中点N，连接FN，EN，

在△PAB中，FN为中位线，

∴FN∥AB，FN=AB，

∵，CE∥AB，

∴CE∥FN，CE=FN，

∴四边形CENF为平行四边形，

∴CF∥EN，

∵EN⊂面PAE，CF⊄面PAE，

∴CF∥平面PAE；

（2）∵PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

∴PD⊥AE．

设AE∩BD=M，∵E为CD的中点，

∴，

则△DME∽△AMB，

在矩形ABCD中，AE=，BD=，

∴DM2+EM2=，

即△DME为直角三角形，即AE⊥BD，

∵PD∩BD=D，PD⊂面PBD，BD⊂面PBD，

∴AE⊥平面PBD．

解析

证明：（1）取AB的中点N，连接FN，EN，

在△PAB中，FN为中位线，

∴FN∥AB，FN=AB，

∵，CE∥AB，

∴CE∥FN，CE=FN，

∴四边形CENF为平行四边形，

∴CF∥EN，

∵EN⊂面PAE，CF⊄面PAE，

∴CF∥平面PAE；

（2）∵PD⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

∴PD⊥AE．

设AE∩BD=M，∵E为CD的中点，

∴，

则△DME∽△AMB，

在矩形ABCD中，AE=，BD=，

∴DM2+EM2=，

即△DME为直角三角形，即AE⊥BD，

∵PD∩BD=D，PD⊂面PBD，BD⊂面PBD，

∴AE⊥平面PBD．

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题型：简答题

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简答题

如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，．

（1）求证：FC∥平面AED；

（2）若BF=k•BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值．

正确答案

解：（1）证明：∵FB∥ED，BC∥AD，

又FB∩BC=B∴平面FBC∥平面EDA，

又∵FC⊂平面FBC，

∴FC∥平面AED．

（2）取EF，BD的中点M，N．由于AE=AF=CE=CF

∴AM⊥EF，CM⊥EF，且AM=CM．

∴∠AMC是二面角A-EF-C的平面角

连接AC，当∠AMC=90°即二面角A-EF-C为直二面角时，MN=AC=AH

在菱形ABCD中，∠BAD=，N为BD中点，∴AH=BD，

又∵MN=BF

∴BF=BD，

即k=．

解析

解：（1）证明：∵FB∥ED，BC∥AD，

又FB∩BC=B∴平面FBC∥平面EDA，

又∵FC⊂平面FBC，

∴FC∥平面AED．

（2）取EF，BD的中点M，N．由于AE=AF=CE=CF

∴AM⊥EF，CM⊥EF，且AM=CM．

∴∠AMC是二面角A-EF-C的平面角

连接AC，当∠AMC=90°即二面角A-EF-C为直二面角时，MN=AC=AH

在菱形ABCD中，∠BAD=，N为BD中点，∴AH=BD，

又∵MN=BF

∴BF=BD，

即k=．

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