热门试卷

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴ FO∥BC，且 ,

又ABCD为平行四边形, ED∥BC，且 ,

∴ FO∥ED，且 FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形

即EF∥DO   

又EF 平面PDC   

∴EF∥平面PDC． 

（Ⅱ）若∠CDP=90°,则PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC  

∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD, 

 ∵BE 平面ABCD，

∴BE⊥DP  

（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知

 △ABC与 △ADC面积相等，

所以三棱锥 P-ADC与三棱锥P-ABC 体积相等，

即五面体的体积为三棱锥P-ADC 体积的二倍.

∵AD⊥平面PDC，

∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP=120°PC=2 ，

由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0 , 解得DC=2 

∴ 三棱锥P-ADC 的体积 

∴该五面体的体积为     

解：（1）设线段A1B1的中点为E，

由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB，

又BB1∥AA1，

所以AA1B1B是正方形，点O是线段AB的中点，

所以OE∥AA1，

所以OE⊥A1B1，

由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC，

又BB1∥AA1∥CC1，

所以BB1⊥BC，CC1⊥AC，CC1⊥BC

且AC=4，AA1=4，CC1=2，

所以A1C1=B1C1，

所以C1E⊥A1B1，

所以A1B1⊥平面DC1E，

所以OC1⊥A1B1。

（Ⅱ）设OE∩AB1=D，则点D是AB1的中点，

所以ED∥AA1，

从而ED∥CC1，ED=CC1、

所以四边形CC1ED是平行四边形，

所以CD∥C1E，

所以CD∥平面A1B1C1，

即存在点D使得CD∥平面A1B1C1，点D是AB1的中点。

（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，

∵AE?平面ABE，

∴AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE

∴BF⊥AE，

∵BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE

（2）证明：连接 GF，

∵BF⊥平面ACE，

∴BF⊥CE ∵BE=BC，

∴F为EC的中点，

∵G是AC的中点，

∴FG∥AE

∵FG?平面BFD，AE平面BFD

∴AE∥平面BFD；

（3）解：取AB中点O，连接OE．

因为AE=EB，

所以OE⊥AB．

因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，

所以OE⊥AD，所以OE⊥面ADC

因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，

所以BF⊥AE．

因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，

所以AE⊥BC．又BF∩BC=B，

所以AE⊥平面BCE，

又BE?面BCE，

所以AE⊥EB．

∵AE=EB=2，

∴AB=2 ，∴OE=

∴F到平面BCD的距离为 

∴四面体BCDF的体积 × ×2×2 × =   

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，

所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，

所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．

因为A1D平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1D，

又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，

所以A1D⊥B1C1．

因为CC1∩B1C1=C1，

所以A1D⊥平面BB1C1C．

（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，

因为ACC1A1为正方形，

所以O为AC1中点，

又D为B1C1中点，

所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1OD，

因为OD平面A1DC，AB1平面A1DC，

所以AB1平面A1DC．

（Ⅲ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，

所以AB，AC，AA1两两互相垂直，

如图所示建立直角坐标系A﹣xyz．设AB=1，则.，设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），

则有，，x=﹣y=﹣z，

取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）．

又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为，

，

因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角，

所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为．

(Ⅰ)证明：∵E是AD的中点，连结PE，

∴AB=2，AE=1，

BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3，

∴AE2+BE2=1+3=4=AB2，

∴BE⊥AE，

又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

∴BE⊥平面PAD． 

(Ⅱ)证明：取PB中点为H，连接FH，AH，

∵，又因为HF是△PBC的中位线，

∴，∴，

∴AHFE是平行四边形，

∴EF∥AH，

又平面PAB，AH平面PAB，

∴EF∥平面PAB。

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，BC⊥BE，PE⊥BC，

又PE，BE是平面PBE内两相交直线，

∴BC⊥平面PBE，又由(Ⅱ)知，HF∥BC，

∴FH⊥平面PBE，

∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，

易知，，

在Rt△PEB中，，

∴，∴，

故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为。

解：（1）三棱锥E-PAD的体积为

；

（2） ，

，

，

。

（3）证明：，

∴，

又平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，

又AF平面PAB，

，

又，点F是PB的中点，

∴，

又平面PBE，

∴AF⊥平面PBE，

∵PE平面PBE，

∴AF⊥PE。

解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，

则M为A1B的中点，

连接MD，又D为AC的中点，

∴B1C∥MD，

又B1C平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD．

（2）∵AB=BB1，

∴四边形ABB1A1为正方形，

∴AB1⊥A1B，

又∵AC1面A1BD，

∴AC1⊥A1B，

∴AB1⊥面AB1C1，

∴AB1⊥B1C1，

又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥B1C1，

∴B1C1⊥平面ABB1A1．

（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，

∵D、E分别为AC、CC1的中点，

∴DE∥AC1，

∵AC1⊥平面AB1D，

∴DE⊥平面AB1D，

又DE平面BDE，

∴平面AB1D⊥平面BDE．

解：（1）点D是正△ABC中BC边的中点，

∴AD⊥BC，

又A1A⊥底面ABC，

∴A1D⊥BC ，

∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥B1C1。

（2）作DE⊥AC于E，

∵平面ACC1⊥平面ABC，

∴DE⊥平面ACC1于E，

即DE的长为点D到平面ACC1的距离

在Rt△ADC中，AC=2CD=a，

∴所求的距离。

（3）直线A1B//平面ADC1，证明如下：

如图，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，

∵D是BC的中点，

∴DF∥A1B，

又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，

∴A1B∥平面ADC1。

(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，

又∵BF⊥平面ACE，

∴BF⊥AE，

∵BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE。

(2)证明：连接CF，∵BF⊥平面ACE，

∴BF⊥CE，

∵BE=BC，

∴F为EC的中点，易知G为AC的中点，

∴GF∥AE，

∵AE平面BFD，GF平面BFD，

∴AE∥平面BFD；

(3)解：取AB中点O，连接OE，

∵AE=EB，

∴OE⊥AB，

∵AD⊥平面ABE，

∴OE⊥AD，∴OE⊥平面ADC，

∵AE⊥平面BCE，

∴AE⊥EB，

∴，∴，

故三棱锥E-ADC的体积为：。