- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°。
(1)求证:EF⊥平面BCE;
(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;
(3)求二面角F-BD-A的余弦值。
正确答案
(1)证明:“略”;
(2)证明:“略”;
(3)解:二面角F-BD-A的余弦值。
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.
(Ⅰ)求证:CN⊥AB1;
(Ⅱ)求证:CN∥平面AB1M.
正确答案
证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥底面ABC,
所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN.
因为AC=BC,N是AB的中点,
所以CN⊥AB.
因为AB∩BB1=B,
所以CN⊥平面AB B1A1.
所以CN⊥AB1.
(Ⅱ)证法一:连接A1B交AB1于P.
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1,
所以P是A1B的中点.
因为M,N分别是CC1,AB的中点,
所以NP∥CM,且NP=CM,
所以四边形MCNP是平行四边形,
所以CN∥MP.
因为CN平面AB1M,MP
平面AB1M,
所以CN∥平面AB1M.
证法二:取BB1中点P,连接NP,CP.
因为N,P分别是AB,BB1的中点,
所以NP∥AB1.
因为NP平面AB1M,AB1
平面AB1M,
所以NP∥平面AB1M.
同理 CP∥平面AB1M.
因为CP∩NP=P,
所以平面CNP∥平面AB1M.
因为CN平面CNP,
所以CN∥平面AB1M.
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
正确答案
解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O.连接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点.
∴在△PAC中,EO是中位线,
∴PA∥EO,
∵EO平面EDB,且PA
平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,且DC底面ABCD,
∴PD⊥DC.
∵底面ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
∵DE平面PDC,
∴BC⊥DE.
又∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
∴DE⊥平面PBC.
∵PB平面PBC,
∴DE⊥PB.
又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D。
(I)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(II)设E是B1C1上的一点,当的值为多少时,A1E∥平面ADC1?请给出证明。
正确答案
解:(I)在正三棱柱中,CC1⊥平面ABC,AD平面ABC,
∴AD⊥CC1
又AD⊥C1D,CC1交C1D于C1,
且CC1和C1D都在面BCC1B1内,
∴AD⊥平面BCC1B1;
(II)由(I),得AD⊥BC
在正三角形ABC中,D是BC的中点
当=1,即E为B1C1的中点时,A1E∥平面ADC1事实上,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,
且D、E分别是BC,BC1B1的中点,
所以BB1∥DE且BB1=DE
又BB1∥AA1,且BB1=AA1,
∴AA1∥DE,且AA1=DE
所以四边形AA1DE为平行四边形,
所以A1E∥AD
而A1E在平面ADC1外,
故A1E∥平面ADC1。
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,
(Ⅰ)求证:D1C⊥AC1;
(Ⅱ)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.
正确答案
(Ⅰ)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连结C1D,
∵DC=DD1, ∴四边形DCC1D1是正方形,
∴DC1⊥D1C,
又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,
∴AD⊥平面DCC1D1,D1C平面DCC1D1,
∴AD⊥D1C,
∵AD,DC1平面ADC1,且AD∩DC1=D,
∴D1C⊥平面ADC1,
又AC1平面ADC1,
∴D1C⊥AC1.
(Ⅱ)解:连结AD1,连结AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连结MN,
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,
又M是AD1的中点,
∴N是AE的中点,
又易知△ABN≌△EDN,
∴AB=DE,即E是DC的中点.
综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD。
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC的中点,G为AC上一点.
(Ⅰ)求证:BD⊥FG;
(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由.
正确答案
(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD、AC交于点E,
∴PA⊥BD,AC⊥BD,
∴BD⊥平面APC,
∵平面PAC,
∴BD⊥FG。
(Ⅱ)解:当G为EC的中点,即时,FG∥平面PBD,
理由如下:连结PE,由F为PC的中点,G为EC的中点,知FG∥PE,
而平面PBD,
平面PBD,
故FG∥平面PBD。
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2。
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由。
正确答案
解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥BC,
又DE?平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB。
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,
又DE⊥CD,
∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,
∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,
∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE。
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ
理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC
∵DE∥BC,
∴DE∥PQ
∴平面DEQ即为平面DEP
由(2)知DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,
从而A1C⊥平面DEQ,
故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ。
如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
(1)证明:BD∥面AB1D1;
(2)证明:A1C⊥面AB1D1.
正确答案
证明:(1)由题意知,BB1∥DD1,BB1=DD1∴BB1DD1是平行四边形
∴BD∥B1D1,
又BD面AB1D1,B1D1?面AB1D1∴BD∥面AB1D1
(2)连接A1C1,A1C
∵CC1⊥面A1B1C1D1,B1D1面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D1
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
又CC1∩A1C1=C1∴B1D1⊥面A1C1C
∵A1C面A1C1C,
∴A1C⊥B1D1,同理A1C⊥AB1,
又AB1∩B1D1=B1∴A1C⊥面AB1D1
如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)求四棱锥E﹣ABCD的体积;
(3)设点M在线段AB上,且AM=MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
正确答案
解:(1)∵DA⊥平面ABE,BC∥DA
∴BC⊥平面ABE,
∵AE平面ABE,
∴AE⊥BC,
又∵BF⊥平面ACE,AE平面ACE,
∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B,
∴AE⊥面BEC,
又∵BE平面BEC,
∴AE⊥BE ∵AD⊥BE,AE∩AD=A,
∴BE⊥面DAE,
∵DE面DAE,
∴DE⊥BE
(2)作EH⊥AB于H,
∵DA⊥平面ABE,DA面ABCD,
∴面ABCD⊥面ABE,
∵EH⊥AB,面ABCD∩面ABE=AB,
∴EH⊥面ABCD
∵AE⊥BE,AE=EB=BC=2,
∴等腰Rt△AEB中,
因此,
(3)设P是BE的中点,连接MP,FP
∵BE=BC,BF⊥CE,
∴F是EC的中点
∵△ECB中,FP是中位线,
∴FP∥BC∥DA
∵DA平面DAE,FP
平面DAE
∴FP∥平面DAE,同理可得MP∥平面DAE,
∵AE∩DA=A,
∴平面MPF∥面DAE,
因此,直线MF∥面DAE,
可得点N就是点F 所以CE的中点N满足MN∥平面DAE.
如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BCA=90°,E、M分别是CC1、A1B1的中点,
(1)求证:A1B⊥C1M;
(2)求证:C1M∥平面AB1E。
正确答案
证明:(1),
∴,
点M为A1B1的中点,
∴,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∴B1B⊥平面A1B1C1,C1M平面A1B1C1,
∴,
又,
∴,A1B
,
∴。
(2)连接于点D,
连接DE、MD、AE、EB1,
∵四边形是长方形,
∴点D为AB1的中点,
,
∴,
∴,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
又,
∴C1M∥平面AB1E。
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