• 直线、平面平行的判定及其性质
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题型:简答题
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简答题

如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°。

(1)求证:EF⊥平面BCE;

(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;

(3)求二面角F-BD-A的余弦值。

正确答案

(1)证明:“略”;

(2)证明:“略”;

(3)解:二面角F-BD-A的余弦值

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简答题

如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.

(Ⅰ)求证:CN⊥AB1

(Ⅱ)求证:CN∥平面AB1M.

正确答案

证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥底面ABC,

所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN.

因为AC=BC,N是AB的中点,

所以CN⊥AB.                     

因为AB∩BB1=B,

所以CN⊥平面AB B1A1.            

所以CN⊥AB1.                     

(Ⅱ)证法一:连接A1B交AB1于P.    

因为三棱柱ABC﹣A1B1C1

所以P是A1B的中点.

因为M,N分别是CC1,AB的中点,

所以NP∥CM,且NP=CM,

所以四边形MCNP是平行四边形,

所以CN∥MP.                     

因为CN平面AB1M,MP平面AB1M,

所以CN∥平面AB1M.              

证法二:取BB1中点P,连接NP,CP. 

因为N,P分别是AB,BB1的中点,

所以NP∥AB1

因为NP平面AB1M,AB1平面AB1M,

所以NP∥平面AB1M.              

同理 CP∥平面AB1M.              

因为CP∩NP=P,

所以平面CNP∥平面AB1M.        

因为CN平面CNP,

所以CN∥平面AB1M.                  

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简答题

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明:PA∥平面EDB;

(2)证明:PB⊥平面EFD.

正确答案

解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O.连接EO.

∵底面ABCD是正方形,

∴点O是AC的中点.

∴在△PAC中,EO是中位线,

∴PA∥EO,

∵EO平面EDB,且PA平面EDB,

∴PA∥平面EDB.

(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,且DC底面ABCD,

∴PD⊥DC.

∵底面ABCD是正方形,

∴DC⊥BC,

∴BC⊥平面PDC.

∵DE平面PDC,

∴BC⊥DE.

又∵PD=DC,E是PC的中点,

∴DE⊥PC.

∴DE⊥平面PBC.

∵PB平面PBC,

∴DE⊥PB.

又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,

∴PB⊥平面EFD.

  

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简答题

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D。

(I)求证:AD⊥平面BCC1B1

(II)设E是B1C1上的一点,当的值为多少时,A1E∥平面ADC1?请给出证明。

正确答案

解:(I)在正三棱柱中,CC1⊥平面ABC,AD平面ABC,

∴AD⊥CC1              

又AD⊥C1D,CC1交C1D于C1

且CC1和C1D都在面BCC1B1内,

∴AD⊥平面BCC1B1

(II)由(I),得AD⊥BC

在正三角形ABC中,D是BC的中点

=1,即E为B1C1的中点时,A1E∥平面ADC1事实上,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,

且D、E分别是BC,BC1B1的中点,

所以BB1∥DE且BB1=DE

又BB1∥AA1,且BB1=AA1

∴AA1∥DE,且AA1=DE

所以四边形AA1DE为平行四边形,

所以A1E∥AD

而A1E在平面ADC1外,

故A1E∥平面ADC1

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简答题

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,

(Ⅰ)求证:D1C⊥AC1

(Ⅱ)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.

正确答案

(Ⅰ)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连结C1D,

∵DC=DD1, ∴四边形DCC1D1是正方形,

∴DC1⊥D1C,

又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1,D1C平面DCC1D1

∴AD⊥D1C,

∵AD,DC1平面ADC1,且AD∩DC1=D,

∴D1C⊥平面ADC1

又AC1平面ADC1

∴D1C⊥AC1

(Ⅱ)解:连结AD1,连结AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连结MN,

∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,

要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,

又M是AD1的中点,

∴N是AE的中点,

又易知△ABN≌△EDN,

∴AB=DE,即E是DC的中点.

综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E∥平面A1BD。

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简答题

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC的中点,G为AC上一点.

(Ⅰ)求证:BD⊥FG;

(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由.

正确答案

(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD、AC交于点E,

∴PA⊥BD,AC⊥BD,

∴BD⊥平面APC,

平面PAC,

∴BD⊥FG。

(Ⅱ)解:当G为EC的中点,即时,FG∥平面PBD,

理由如下:连结PE,由F为PC的中点,G为EC的中点,知FG∥PE,

平面PBD,平面PBD,

故FG∥平面PBD。

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简答题

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2。

(1)求证:DE∥平面A1CB;

(2)求证:A1F⊥BE;

(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由。

正确答案

解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,

∴DE∥BC,

又DE?平面A1CB,

∴DE∥平面A1CB。

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,

∴DE⊥AC,

∴DE⊥A1D,

又DE⊥CD,

∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,

∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,

∴A1F⊥平面BCDE,

∴A1F⊥BE。

(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ

理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC

∵DE∥BC,

∴DE∥PQ

∴平面DEQ即为平面DEP

由(2)知DE⊥平面A1DC,

∴DE⊥A1C,

又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,

∴A1C⊥DP,

∴A1C⊥平面DEP,

从而A1C⊥平面DEQ,

故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ。

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简答题

如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,

(1)证明:BD∥面AB1D1

(2)证明:A1C⊥面AB1D1

正确答案

证明:(1)由题意知,BB1∥DD1,BB1=DD1∴BB1DD1是平行四边形

∴BD∥B1D1

又BD面AB1D1,B1D1?面AB1D1∴BD∥面AB1D1

(2)连接A1C1,A1C

∵CC1⊥面A1B1C1D1,B1D1面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D1   

在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1

又CC1∩A1C1=C1∴B1D1⊥面A1C1C

∵A1C面A1C1C,

∴A1C⊥B1D1,同理A1C⊥AB1

又AB1∩B1D1=B1∴A1C⊥面AB1D1

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简答题

如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.

(1)求证:DE⊥BE;

(2)求四棱锥E﹣ABCD的体积;

(3)设点M在线段AB上,且AM=MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.

正确答案

解:(1)∵DA⊥平面ABE,BC∥DA

∴BC⊥平面ABE,

∵AE平面ABE,

∴AE⊥BC,

又∵BF⊥平面ACE,AE平面ACE,

∴AE⊥BF

∵BC∩BF=B,

∴AE⊥面BEC,

又∵BE平面BEC,

∴AE⊥BE ∵AD⊥BE,AE∩AD=A,

∴BE⊥面DAE,

∵DE面DAE,

∴DE⊥BE

(2)作EH⊥AB于H,

∵DA⊥平面ABE,DA面ABCD,

∴面ABCD⊥面ABE,

∵EH⊥AB,面ABCD∩面ABE=AB,

∴EH⊥面ABCD

∵AE⊥BE,AE=EB=BC=2,

∴等腰Rt△AEB中, 

因此, 

(3)设P是BE的中点,连接MP,FP

∵BE=BC,BF⊥CE,

∴F是EC的中点

∵△ECB中,FP是中位线,

∴FP∥BC∥DA

∵DA平面DAE,FP平面DAE

∴FP∥平面DAE,同理可得MP∥平面DAE,

∵AE∩DA=A,

∴平面MPF∥面DAE,

因此,直线MF∥面DAE,

可得点N就是点F 所以CE的中点N满足MN∥平面DAE. 

 

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简答题

如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BCA=90°,E、M分别是CC1、A1B1的中点,

(1)求证:A1B⊥C1M;

(2)求证:C1M∥平面AB1E。

正确答案

证明:(1)

点M为A1B1的中点,

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

∴B1B⊥平面A1B1C1,C1M平面A1B1C1

,A1B

(2)连接于点D,

连接DE、MD、AE、EB1

∵四边形是长方形,

∴点D为AB1的中点,

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

∴四边形是平行四边形,

∴C1M∥平面AB1E。

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