热门试卷

解：（Ⅰ）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，

∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FGCD，AECD

∴FGAE，

∴AF∥GE

∵GE平面PEC，

∴AF∥平面PCE；

（Ⅱ）证明：∵PA=AD=2，

∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵AD⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF平面PAD，

∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

（Ⅲ）取AD的中点M，连接FM，EM，MC，

∵F是PD的中点；

∴FM∥PA；

∴FM⊥平面ABCD；?EC⊥FM①

在三角形EMC中，

∵MC==3；ME==；EC==；

∴MC2=ME2+EC2；

∴EM⊥EC  ②；

∴由①②得EC⊥平面FME，

∴EC⊥FE，即∠FEM为二面角F﹣EC﹣D的平面角，

而tan∠FEM====；

∴∠FEM=30°．故二面角F﹣EC﹣D为30°．

解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE平面MNE，ME∩NE=E，

∴，平面MNE∥平面PCD，

∴，MN∥平面PCD

（2）ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD

（3）PD⊥平面ABCD，

∴PD为三棱锥P﹣ABC的高

三角形ABC为等腰直角三角形，

∴三棱锥P﹣ABC的体积

证明：（1）∵E，F分别为AC，BC的中点，

∴EF∥AB，

又，

∴EF∥平面PAB；

（2）在三角形PAC中，

∵PA=PC，E为AC中点，

∴PE⊥AC，

，

∴PE⊥平面ABC，

∴PE⊥BC，

又，

∴，

又，

∴，

∴平面PEF⊥平面PBC。

证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD′的中点，

∴EF为△D′BC的中位线，

∴EF∥D′B，

又∵，

∴EF∥平面AD′B。

（Ⅱ）∵G是AD的中点，，即AD=2，

∴DG=1，

又∵，

∴在△DGC中，，

∴DG⊥GC，

∴，

∵AG∩D′G=G，

∴GC⊥平面AD′G，

又∵，

∴平面CD′G⊥平面AD′G。

证明：(Ⅰ)因为∠A1AC=60°，A1A=AC=1，

所以△A1AC为等边三角形，所以A1C=1，

因为BC=1，A1B=，

所以，A1C2+BC2=A1B2，

所以∠A1CB=90°，A1C⊥BC，

因为BC⊥AA1，BC⊥A1C，AA1平面ACC1A1，

A1C平面ACC1A1，AA1∩A1C=A1，

所以BC⊥平面ACC1A1， 

因为BC平面A1BC，

所以，平面A1BC⊥平面ACC1A1。

(Ⅱ)连接AC1交A1C于点D，连接OD，

因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点， 

因为D为AB的中点，

所以，OD∥BC1， 

因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以，BC1∥平面A1CD。

证明：（1）因为∠A1AC=60°，A1A=AC=1，

所以△A1AC为等边三角形，

所以A1C=1，

因为BC=1，A1B=，

所以A1C2+BC2=A1B2所以∠A1CB=90°，即 A1C⊥BC

因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，A1A平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，A1A∩A1C=A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，

因为BC平面A1BC

所以平面A1BC⊥平面ACC1A1（2）连接AC1交A1C于O，连接OD

因为ACC1A1为平行四边形，

所以O为AC1的中点

因为D为AB的中点，

所以OD∥BC1因为OD平面A1CD，BC1在平面A1CD外

所以BC1∥平面A1CD．

证明：（1）“略”；

（2）“略”。

（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，

，

因为，

所以，

又因为AC=BC=2，N是AB中点，所以AB⊥CN，

由于，

所以AB⊥平面MCN，

又因为，

所以，平面；

（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，

因为N，G分别是棱AB，AB1中点，

所以，

又因为，

所以CM∥NG，CM=NG，

所以四边形CNMG是平行四边形，

所以CN∥MG，

因为，

所以。

解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC，

因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，

AB平面ABCD，

所以AB⊥平面BCE，    

因为CE平面BCE，

所以CE⊥AB．

因为CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，

所以CE⊥平面ABE，     

因为CE平面AEC，

所以平面AEC⊥平面ABE。

（2）连结BD交AC于点O，连结OF，

因为DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，

所以DE∥OF，        

又因为矩形ABCD中，O为BD中点，

所以F为BE中点，

即。