热门试卷

解：(1)如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，

∴EF∥AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，

∴AB∥平面DEF。

(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0），

，

平面CDF的法向量为，

设平面EDF的法向量为，

则，

取，

，

所以平面BDC与平面DEF夹角的余弦值为。

(3)在平面坐标系xDy中，

直线BC的方程为，

设，

∴

，

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE。

（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN，AN，

在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，

所以，

由已知AB∥CD，，

所以MN∥AB，且MN=AB，

所以四边形ABMN为平行四边形，

所以BM∥AN，

又因为，

所以BM∥平面ADEF。

（Ⅱ）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC，

在直角梯形ABCD中，，

可得，

在△BCD中，，

所以BC⊥BD，

所以BC⊥平面BDE，

又因为

所以平面BDE⊥平面BEC。

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD，

以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

，

平面ADEF的一个法向量为，

设为平面BEC 的一个法向量，

因为，，

所以，

令x=1，得y=1，z=2，

所以为平面BEC的一个法向量，

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，

则，

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为。

解：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC1；

（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1，

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1。

（Ⅲ）∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角，

在△CED中，，

∴，

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。

解：（1）在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，

所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为SB⊥BC，AB⊥BC，

所以BC⊥平面SAB，

又SA包含于平面SAB，

所以BC⊥SA，

又SA⊥AB，

所以SA⊥平面ABCD；

（2）在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，

所以EO∥SA，

所以EO⊥平面ABCD，

过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，

所以AC⊥EH，

所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．

在Rt△AHO中，．，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为；

（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，

理由如下：

取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD∥FC，

所以，

又由题意SF∥EM，

所以SF∥平面EAC，

即当F为BC的中点时，SF∥平面EAC。

解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接GO，OE，

易得四边形OGFE为梯形，

有OE 在平面EFG 上，

又PA ∥OE ，

结合平面EFG，平面EFG，

得PA∥平面EFG；

（Ⅱ）分别以OG，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

有，

设平面EFG的法向量为，

则根据，

取，得到，

设点，

于是，

有题知，

即，解得，

∴点M在CD的中点时，MF与平面EFG所成角为60°。