热门试卷

证明（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO．

∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，

又E为PC中点．∴PA∥EO．

又EO⊂面BDE，PA⊄面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（2）在△PAC中，由三角形的中位线定理可得，

而BD=2，∴．

又O为BD的中点，

∴∠BED=90°，即BE⊥DE．

又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC．

又PC∩DE=E，

∴BE⊥面PDC，又BE⊂面PBC，

∴平面PBC⊥平面PDC．

证明：延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．

∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，

∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，

∴==，∴MN∥EF，

∴MN∥平面BCD．

解：（1）AD⊥DF，DF=AD=DC，

连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN，

又FD⊥AD，FD⊥CD，且AD∩CD=D．

所以FD⊥平面ABCD，所以AC⊥平面FDN．

GN⊂平面FDN，

∴GN⊥AC．

（2）当DC=DF时，在边AD上存在一点P，使得GP∥平面FMC，此时P为AD的中点．

证明如下：在DC上取点S，使DS=DC．连接GS．

因为DG=DF，DS=DC，

所以GS∥FC，

∴GS∥平面FMC，

延长BA至点Q，使得AQ=AM．连接SQ交AD与点P，

可得PS∥CM，

∴PS∥平面EMC，

由GS∩PS=S，

∴PS∥平面EMC，

由GS∩PS=S，

∴平面GSP∥平面EMC，

又GP⊂平面GSP，

∴GP∥平面FMC

证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，

∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D

∴CD⊥平面PAD，

∴EF⊥平面PAD，

∵EF⊂平面EFG，

∴平面EFG⊥平面PAD； 

（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，

∴GF∥BP

∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，

∴GF∥平面PAB，

由（I）知，EF∥DC

∵AB∥DC，∴EF∥AB

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB，

∵EF∩GF=F

∴平面EFG∥平面PAB

∵PA⊂平面PAB

∴AP∥平面EFG．

（1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．

∵点M是BC的中点，

∴MP∥CD．

∵CD⊂平面A1CD，MP⊄平面A1CD，

∴MP∥平面A1CD．（2分）

∵点N是AA1的中点，

∴NP∥A1D．

∵A1D⊂平面A1CD，NP⊄平面A1CD，

∴NP∥平面A1CD．（4分）

∵MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，

∴平面MNP∥平面A1CD．

∵MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面A1CD．（6分）

证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A1P，

∵点M是BC的中点，

∴BM=MC．

∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，

∴RtMBA≌RtMCP．（2分）

∴AM=MP．

∵点N是AA1的中点，

∴MN∥A1P．（4分）

∵A1P⊂平面A1CD，MN⊄平面A1CD，

∴MN∥平面A1CD．（6分）

（2）解：取BB1的中点Q，连接NQ，CQ，

∵点N是AA1的中点，

∴NQ∥AB．

∵AB∥CD，

∴NQ∥CD．

∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，

其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1．（8分）

∴，

∴直三棱柱QBC-NAD的体积，（10分）

∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2，

∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1体积．（12分）

∴==．

∴所截成的两部分几何体的体积的比值为．（14分）

（说明：也给分）

证明：（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE，

∵M、N分别为AB、PC的中点

∴NE∥CD且，AM∥CD且，

∴AM∥NE且AM=NE

∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE∥MN

又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，．

∴MN∥平面PAD（4分）

（Ⅱ）证明：∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又

∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD

∴CD⊥平面PAD

又∵AE⊂在平面PAD∴CD⊥AE

再∵AE∥MN

∴MN⊥CD

（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）

∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，

∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（4分）

∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，

∴BE∥平面ACF．…（5分）

（Ⅱ）解：作EG⊥AD于G，则

∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，

∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，

∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…（7分）

∴CD⊥EG，

∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…（8分）

∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，

∵AE=DE=2，∴，…（10分）

∴四棱锥E-ABCD的体积V=××=…（12分）

证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，

则FH∥CC1，

所以平面EFH∥平面C1CDD1；

所以EF∥平面C1CDD1；

（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，

以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，如图：

则=（2，0，-2），=（2，2，2），

设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，-2，1），

G（a，0，c），则=（a，-1，c），要使EG⊥平面A1BC1，只要，

所以，所以a=c=，所以在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；

由以上可知是平面A1GC1的一个法向量；

设平面CGC1的法向量为=（x‘，y'，z'），则且，所以，令y'=1，则=（-2，1，0）为平面CGC1的一个法向量，

所以二面角A1-C1G-C的平面角的余弦值为=．