- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（Ⅰ）求几何体ABCDFE的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADE∥平面BCF．
正确答案
因为△ABC，△DFE都是等边三角形，故有AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，
所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，
因为
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO∥FG，AO=FG，
所以四边形AOFG为平行四边形，故AG∥OF，
又DE∥BC，所以，平面ADE∥平面BCF．…（12分）
解析
因为△ABC，△DFE都是等边三角形，故有AO⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，
所以AO⊥平面BCED，同理FG⊥平面BCED，
因为
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO∥FG，AO=FG，
所以四边形AOFG为平行四边形，故AG∥OF，
又DE∥BC，所以，平面ADE∥平面BCF．…（12分）
已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：
①α内有无穷多条直线均与平面β平行；
②平面α，β均与平面γ平行；
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；
④平面α，β与直线l所成的角相等．
其中能推出α∥β的是（ ）
正确答案
解析
解：①α内有无穷多条直线均与平面β平行，这两个平面平行或相交，故不能推出α∥β，故①不满足条件．
②平面α，β均与平面γ平行，则有α∥β成立，故②满足条件．
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行，则平面α，β可能平行，也可能相交，故③不满足条件．
④平面α，β与直线l所成的角相等，则平面α，β可能平行，也可能相交，故④不满足条件．
综上，只有②满足条件，
故选 B．
求证：（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）AB⊥BC．
正确答案
证明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点，
∵E、F分别是SA、SB的中点，
∴EF∥AB，
又∵EF⊄平面ABC，AB⊆平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理：FG∥平面ABC，
又∵EF∩FG=F，EF、FG⊆平面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面SAB，
∴AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC，
∵BC⊥SA，SA∩AF=A，SA、AF⊂平面SAB，
∴BC⊥面SAB，
∵AB⊂面SAB，
∴BC⊥AB．
解析
证明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F是SB的中点，
∵E、F分别是SA、SB的中点，
∴EF∥AB，
又∵EF⊄平面ABC，AB⊆平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理：FG∥平面ABC，
又∵EF∩FG=F，EF、FG⊆平面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面SAB，
∴AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC，
∵BC⊥SA，SA∩AF=A，SA、AF⊂平面SAB，
∴BC⊥面SAB，
∵AB⊂面SAB，
∴BC⊥AB．
正确答案
设
设
∴
同理平面B1MC的法向量为
∴
∴
∴平面A1EF∥平面B1MC．
解析
设
设
∴
同理平面B1MC的法向量为
∴
∴
∴平面A1EF∥平面B1MC．
求证：平面EFG∥平面AB1C．
正确答案
∴
∴
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，
∴平面EFG∥平面AB1C．
解析
∴
∴
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，
∴平面EFG∥平面AB1C．
设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
正确答案
解析
解：当m∥β且l1∥α时，α、β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的一个充分条件；
当m∥β且n∥l2时，α、β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的一个充分条件；
当m∥β且n∥β，若m∥n，则α、β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的一个充分条件；
当m∥l1且n∥l2，由面面平行的判定定理，可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件；
故选D
（1）BD∥EF；
（2）BD⊥面A A1 C1C．
（3）平面AMN∥平面BDFE．
正确答案
证：（1）如图，连接B1D1，由已知条件知：EF∥B1D1，
又BD∥B1D1，∴BD∥EF；
∴AA1⊥BD，即BD⊥AA1；
又BD⊥AC，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面AA1C1C；
（3）设AC交BD于O，A1C1交MN于Q，交EF于P，则PQ∥AO，且PQ=AO，
∴四边形AOPQ是平行四边形，
∴AQ∥OP，OP⊂平面BDFE；
∴AQ∥平面BDFE，
又MN∥EF，EF⊂平面BDFE，
∴MN∥平面BDFE，MN∩AQ=Q；
∴平面AMN∥平面BDFE．
解析
证：（1）如图，连接B1D1，由已知条件知：EF∥B1D1，
又BD∥B1D1，∴BD∥EF；
∴AA1⊥BD，即BD⊥AA1；
又BD⊥AC，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面AA1C1C；
（3）设AC交BD于O，A1C1交MN于Q，交EF于P，则PQ∥AO，且PQ=AO，
∴四边形AOPQ是平行四边形，
∴AQ∥OP，OP⊂平面BDFE；
∴AQ∥平面BDFE，
又MN∥EF，EF⊂平面BDFE，
∴MN∥平面BDFE，MN∩AQ=Q；
∴平面AMN∥平面BDFE．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（ ）
正确答案
解析
∴C1M⊥AA1，
∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．
∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，
∴A1B⊥C1M，
∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM，即②正确；
∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，
∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．
故选D．
设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A不正确，当m⊂α，n⊂β时，若m∥n，则可能 α∥β，也可能α和 β相交．
B不正确，当m⊂α，n⊂β时，若m⊥n，则m仅与β内的一条直线n垂直，不能推出m垂直于β，故不能推出α⊥β．
C正确，当m⊂α，n⊂α时，若m∥β，n∥β，则平面α内有两条相交直线和β平行，根据两个平面平行的判定定理，
可得 α∥β．
D不正确，当m⊂α，n⊂β时，若m⊥β，则 m⊥n，n只垂直于α内的一条直线，故不能推出n⊥α，
故选C．
已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行．记平面α、β的距离为d1，直线m、n的距离为d2，则（ ）
正确答案
解析
解：因为平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行，
所以平面α、β的距离等于直线m、n的距离，F
所以d1=d2，
故选：B．
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