- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（ ）
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；
②l⊂α，m⊂α且l∥m；
③l∥α，m∥β且l∥m．
正确答案
解析
解：对于①，∵l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β，当直线l与直线m相交时，α∥β，故①错误；
对于②，l⊂α，m⊂α且l∥m，不能得到α∥β，故②错误；
对于③，如图，l∥α，m∥β且l∥m，α∩β=n，故③错误；
故选：D．
（1）判断直线AC与直线BD是否平行；
（2）如果MA=4cm，AB=5cm，MC=3cm，求MD的长．
正确答案
解析
解：（1）直线AC与直线BD平行，证明如下；
∵直线a∩b=M，
∴a、b确定一个平面，不妨记为γ，
又γ∩α=AC，γ∩β=BD，且α∥β，
∴AC∥BD；
（2）△MBD中，AC∥BD，
∴
又MA=4cm，AB=5cm，MC=3cm，
∴MB=MA+AB=9cm；
∴MD=
（Ⅰ）平面A1BD1∥平面AC1D；
（Ⅱ）BC1⊥B1D．
正确答案
∴设A1C的中点为E，
则平面A1BC∩平面AC1D=ED，
∴A1B∥ED；
∵E是AC1的中点，
∴D是BC的中点，
即BDC1D1为平行四边形，
∴BD1∥DC1，A1D1∥AD，
∵BD1，A1D1⊂平面A1BD1，AD⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D；
（Ⅱ）∵BC1⊥AB1，BC1⊥AC1，
∴BC1⊥FB1，
∵AB1∩B1F=B1，
∴BC1⊥平面AB1F，
∵DB1⊂平面AB1F，
∴BC1⊥B1D．
解析
∴设A1C的中点为E，
则平面A1BC∩平面AC1D=ED，
∴A1B∥ED；
∵E是AC1的中点，
∴D是BC的中点，
即BDC1D1为平行四边形，
∴BD1∥DC1，A1D1∥AD，
∵BD1，A1D1⊂平面A1BD1，AD⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D；
（Ⅱ）∵BC1⊥AB1，BC1⊥AC1，
∴BC1⊥FB1，
∵AB1∩B1F=B1，
∴BC1⊥平面AB1F，
∵DB1⊂平面AB1F，
∴BC1⊥B1D．
已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．
故选D．
已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有 ______．
正确答案
①④
解析
解：因为已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；因为垂直于同一直线的两平面平行，显然①正确；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；设α，β，γ分别是坐标平面，即可验证错误．
③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；a、b也可异面，显然③错误．
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．由面面平行性质知，a∥b，故④正确．
故答案为①④．
（普通班做）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G是CC1，BC，CD的中点．
求证：①AB1∥平面CDD1C1；
②平面EFG∥平面BC1D．
正确答案
故四边形ADC1B1为平行四边形，故AB1∥DC1．
而DC1在平面CDD1C1中，AB1不在平面CDD1C1中，故有 AB1∥平面CDD1C1．
②由于E，F，G是CC1，BC，CD的中点，故FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD．
而BD在平面BC1D内，FG不在平面BC1D内，故有FG∥平面BC1D，
同理可证EF∥平面BC1D．
由于EF和FG是平面EFG内的2条相交直线，故有平面EFG∥平面BC1D．
解析
故四边形ADC1B1为平行四边形，故AB1∥DC1．
而DC1在平面CDD1C1中，AB1不在平面CDD1C1中，故有 AB1∥平面CDD1C1．
②由于E，F，G是CC1，BC，CD的中点，故FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD．
而BD在平面BC1D内，FG不在平面BC1D内，故有FG∥平面BC1D，
同理可证EF∥平面BC1D．
由于EF和FG是平面EFG内的2条相交直线，故有平面EFG∥平面BC1D．
正确答案
证明：因为
所以DE∥AB．
又因为DE⊄平面ABC，
所以DE∥平面ABC．
同理EF∥平面ABC．
又因为DE∩EF=E，
所以，平面DEF∥平面ABC．
解析
证明：因为
所以DE∥AB．
又因为DE⊄平面ABC，
所以DE∥平面ABC．
同理EF∥平面ABC．
又因为DE∩EF=E，
所以，平面DEF∥平面ABC．
设α，β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β，
若l、m是平行直线，则它们可能都平行于α、β的交线，故A不正确；
对于B，l⊂α，m⊂β且l∥m，可得l、m有可能都平行于α、β的交线，故B不正确；
对于C，由l⊥α且l∥m，得到m⊥α，再由m⊥α、m⊥β，得到α∥β
故“l⊥α，m⊥β且l∥m”是α∥β的一个充分条件，得C正确；
对于D，由“l∥α，m∥β，且l∥m”得可能l、m有可能都平行于α、β的交线，故D不正确
故选：C
（1）证明：平面DEF∥平面ABC；
（2）证明：CD⊥平面AEC1．
正确答案
（1）证明：由题意可知CA=CC1，又CD⊥AC1，
由等腰三角形的性质可知D为AC1的中点，
又F为CC1的中点，所以DF∥AC，
又AC⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，
同理可证：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，
所以平面DEF∥平面ABC；
（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，
由余弦定理可得：DE2=12+22
∵CD为直角三角形ACC1斜边AC1的中线，
∴CD=
所以CD2+DE2=CE2，由勾股定理可得CD⊥DE，
又CD⊥AC1，AC1∩DE=D，所以CD⊥平面AEC1．
解析
（1）证明：由题意可知CA=CC1，又CD⊥AC1，
由等腰三角形的性质可知D为AC1的中点，
又F为CC1的中点，所以DF∥AC，
又AC⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，
同理可证：EF∥平面ABC，又DF∩EF=F，
所以平面DEF∥平面ABC；
（2）设AB=2，则DF=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=60°，
由余弦定理可得：DE2=12+22
∵CD为直角三角形ACC1斜边AC1的中线，
∴CD=
所以CD2+DE2=CE2，由勾股定理可得CD⊥DE，
又CD⊥AC1，AC1∩DE=D，所以CD⊥平面AEC1．
已知平面α∥平面β，点P是平面α、β外一点，过点P的直线m分别交α、β于点A、C，过点P的直线n分别交α、β于点B、D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长．
正确答案
解：连接AB、CD
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD
∴AB∥CD，可得
∵PA=6，AC=9，PD=8
∴
②
类似①的方法，可得
∴BD=PB+PD=24
综上所述，可得BD的长为
故答案为：
解析
解：连接AB、CD
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD
∴AB∥CD，可得
∵PA=6，AC=9，PD=8
∴
②
类似①的方法，可得
∴BD=PB+PD=24
综上所述，可得BD的长为
故答案为：
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