热门试卷

解：（1）连接AC，交BD于O，连接EO．

∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC中点，

∵△PAC中，E为PA的中点，

∴OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA．

又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA∥平面BDE；

（2）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PD⊥BC

又∵CD⊥BC，PD、CD是平面PCD内的相交直线

∴BC⊥平面PCD，结合DE⊂平面PCD，得DE⊥BC，

∵△PCD中，PD=DC，E为P中点，∴DE⊥PC，

∵PC、BC是平面PBC内的相交直线

∴DE⊥平面PBC

∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC；

（3）取CD中点，连接AH、EH

∵△PCD中，E、H分别为PC、CD的中点

∴EH∥PD，结合PD⊥平面ABCD，可得EH⊥平面ABCD

因此，AH就是AE在平面BACD内的射影

∴∠EAH就是直线AE与平面ABCD所成角

∵Rt△AEH中，AH==，EH=PD=1

∴AE==，可得cos∠EAH==

即直线AE与平面ABCD所成角的余弦值为

（1）证明：

∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．

连接B1C交BC1于E，则B1E=EC．连接DE．

在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．

又AB1⊈平面DBC1，DE⊂平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．

（2）解：作DF⊥BC，垂足为F，

则DF⊥面B1BCC1，连接EF，

则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．

∵AB1⊥BC1，

由（1）知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．

设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，

DF=DC•sinC=，CF=DC•cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．

在Rt△BEF中，

EF2=BF•GF，又BF=BC-FC=，GF=，

∴EF2=•，即EF=．∴tan∠DEF=．∴∠DEF=45°．

故二面角α为45°．

证明：（1）G是AE，DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，

∴△EAB中，GH∥AB，（3分）∵AB∥CD，∴GH∥CD，

又∵CD⊂平面CDE，GH⊂平面CDE

∴GH∥平面CDE（7分）

（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

∵ED⊥AD，ED⊂平面ADEF

∴ED⊥平面ABCD，（10分）

∴ED⊥BD，

又∵BD⊥CD，CD∩ED=D

∴BD⊥平面CDE．（14分）

解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．

又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）

∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．

又∵SB=a，∴S表面积=2S△SAB+2S△SBC+SABCD

=．（7分）

（Ⅱ）取SD中点P，连接MN、NP、PA，则NP=CD，且NP∥CD．（9分）

又AM=CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形．（12分）

∴MN∥AP，而AP⊂平面SAD，MN不在平面SAD内，∴MN∥平面SAD．    （14分）

解：（1）证明：连接B1C与BC1交于点O，连接OD，

∵，

∴BD⊥平面AA1C1C，

∴BD⊥AC，

 又∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，

∴D为AC中点，

∵平行四边形BB1C1C中O是B1C的中点，

∴，

即AB1∥平面BDC1

（2）设点A到平面BDC1的距离为d

又∵AD=CD，

∴d等于点C到平面BDC1的距离，

过点C作CE⊥DC1垂足为E，

∵DB⊥平面AA1C1C，

∴BD⊥CE，

又∵DB∩DC1=D，∴CE⊥平面DBC1，

则CE是点C到平面BDC1的距离，

∵AC=2，∴CD=1，CC1=，

∴C1D=，

∴d=CE===．

证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，取AC与BD的交点为O，又E是PD的中点，连EO，

则EOPB，

又EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴PB∥平面ACE；

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴PA⊥BD；①

又底面ABCD是菱形，

∴AC⊥BD；②

PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，

∴BD⊥PC．

（1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，

∴AC⊥BD且AC⊥BB1，

∴AC⊥平面BD1．

又DQ⊆平面BD1，

∴AC⊥DQ．

又在Rt△EDO中，∠EOD=45°，OD=a，

∴DE=a．

又BQ= a=BD，可得DQ⊥OE，

∴DQ⊥平面EAC．--------（4分）

（2）解：BP不平行于平面EAC．理由如下：

若BP∥平面EAC，又BP⊆DPB，平面DPB∩平面EAC=OE，∴BP∥OE．

又O为BD中点，则E为DP中点，这与DP=a，DE=a矛盾，------------（9分）

（3）如图，取BB1中点G，连接CG，则M∈CG．

证明如下：

由（1）知BP⊥AC，又取AA1、CC1中点R、S，连接PR、RG、GS、SP．

可知ABCD-RGSP为正方体，易证CG⊥平面BSP．

∴CG⊥BP．

则BP⊥平面ACG．∴M∈CG．---------（14分）