热门试卷

证明：（1）取BC中点G，连NG、AG，

∵N是BC1的中点，G是BC的中点，

∴NG∥CC1，且NG=；又M是AA1的中点，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴MA∥CC1，且MA=．

∴MA∥NG且MA=NG，

∴MAGN是平行四边形，

∴MN∥AG．…（3分）

又AG⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC．  …（5分）

（2）∵AC=BC=1，D是的中点，∴CD⊥AB．又ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴平面AA1B1B⊥平面ABC，

∵CD⊂平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，

∴CD⊥平面AA1B1B．…（9分）

（3）作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交B1B于F，连接CF，不难证明A1B⊥平面C1DF，点F即为所求．…（12分）

事实上，∵CD⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，

∴A1B⊥CD，

又A1B⊥DF，CD∩DF=D，

∴A1B⊥平面CDF．…（14分）

解：（Ⅰ）当E为棱DD1上的中点时，平面A1C1E∥B1D；如图，

连接A1C1，与D1B1相交于O，E为DD1上的中点，连接OE，得到OE∥B1D，

OE⊂平面A1C1E，B1D，⊄平面 A1C1E，

∴B1D∥平面A1C1E；

（Ⅱ）连接A1D，BD，因为几何体为正方体，如图，

所以A1D∥B1C，A1B∥D1C，

所以平面A1BD∥平面D1B1C．

DM⊂∥平面DA1BD．

所以DM∥平面D1B1C．

解：（1）证明：法一：如图，连接D1C，

∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，

∴A1D1∥BC且A1D1=BC．

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥D1C．

∵A1B⊄平面CDD1C1，D1C⊂平面CDD1C1，

∴A1B∥平面CDD1C1．

法二：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，

∴平面A1AB∥平面CDD1C1．

∵A1B⊂平面A1AB，A1B⊄平面CDD1C1．

∴A1B∥平面CDD1C1．

（2）设A1A=h，∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为，

∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=，

即SABCD×h-×S△A1B1C1×h=，

即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．

∴A1A的长为4．

（3）如图，连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD．

∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB．

∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B．

∴OA1=D1B．同理OD=OC1=D1B．

∴OA1=OD=OC1=OB．

∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O．

∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24．

∴S球=4π×（OD1）2=4π×（）2=π×D1B2=24π．

故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π．

（本小题满分14分）

解：（I）解：

连接B1D1．

∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，

∴∠B1BD1是异面直线AA1和BD1所成的角．（2分）

即在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE．（14分）

在，∴，

即异面直线AA1和BD1所成角的大小为（4分）

（II）证明：

连接CD1，与C1D相交于O，连接EO．

∵CDD1C1是矩形，

∴O是CD1的中点，

又E是BC的中点，

∴EO∥BD1．（2分）

又BD1⊄平面C1DE，EO⊂平面C1DE，

∴BD1∥平面C1DE．（4分）

（III）解：

过点C作CH⊥DE于H，连接C1H．

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，

∴C1H⊥DE，

∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角．（11分）

在△CDE中，CD=2，CE=1，∴

在△C1CH中，CC1=3，∴，（13分）

∴二面角C1-DE-C的大小为（14分）

解：（1）由题意可得：

所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥

=4×4×6-××2×2×2=（cm2），

（2）证明：如图，

由多面体的左视图可得：点G、F分别是正方形的中点，

在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，

则AD′∥BC′

∵E，G分别为AA′，A′D′中点，

∴AD′∥EG，从而EG∥BC′，

又∵EG⊂平面EFG，BC′⊄平面EFG，

∴BC′∥平面EFG．

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连结CO，EO，

∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，

又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，

在△BDE中，由于O为BD的中点，所以BE=DE；

所以△BDE是等腰三角形；

（Ⅱ）取AB中点N，连接MN，DN，

∵M是AE的中点，

∴MN∥BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

∴MN∥平面BEC，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，

∴∠CBD=30°，

∴ND∥BC，

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，

∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，

∴DM∥平面BEC．

证明：（1）根据题意，得；

E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C；

（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1；

又因为AC⊥BC，

CC1⊂平面BCC1B1，

BC⊂平面BCC1B1，

BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1；

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC；

因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

所以BC1⊥平面B1AC；

又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1．

证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD

证明：（1）如图，

连接DN，∵四边形ABCD是正方形，∴DN⊥AC

∵DF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴DF⊥AC

又DN∩DF=D，∴AC⊥平面DNF

∵GN⊂平面DNF，∴GN⊥AC

（2）取DC中点S，连接AS，GS，GA

∵G是DF的中点，∴GS∥FC，AS∥CM

又GS，AS⊄平面FMC，FM，CM⊂平面FMC

∴GS∥平面FMC，AS∥平面FMC

而AS∩GS=S，∴平面GSA∥平面FMC

∵GA⊂平面GSA，∴GA∥平面FMC．