热门试卷

解：（Ⅰ）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，

∵D为A1C1的中点，

∴DE为△A1BC1的中位线，

∴BC1∥DE．

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴BC1∥平面AB1D

（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，

∴，

在直角三角形AA1D中，

∵，

∴AD=B1D．

∴DE⊥AB1，

由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得，

∵△B1FE∽△B1AA1，

∴

∴．

故所求二面角A1-AB1-D的大小为．

解：（1）证明：如图所示，连接AC，CD1，

∵P，Q分别为AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1，

∵CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为a，所以D（0，0，0），E（，a，0），F（0，，a），P（，0，），Q（，，0），

所以=（，，a）.=（0，-，），

所以EF的长：||==．

异面直线PQ，EF所成角的余弦值：cosθ===．

（1）证明：∵菱形对角线AC与BD相交于点E，

∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE

又∵线段PD的中点为F，

∴EF为△PBD的中位线，

∴EF∥PB

又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC

（2）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

菱形ABCD中，AC⊥BD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥PC．

证明：过E作EM∥BC，交PC于M，则M是PC的中点，连接MF，则MF∥PD，

又AD∥BC，∴EM∥AD，

∴平面EFM∥平面PAD，

EF⊂平面EFM，

∴EF∥面PAD．

解：（Ⅰ）证明：连接AC1 交A1C于点F，则F为AC1的中点．

∵直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，

故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．

由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，

故有BC1∥平面A1CD．

（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2，

故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．

由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，

∴CD==．

∵A1D==，

同理，利用勾股定理求得 DE=，A1E=3．

再由勾股定理可得，∴A1D⊥DE．

∴=A1D•DE=，

∴=．

（1）证明：∵SA⊥平面ABC，而AB为SB在平面ABC内的射影，

又由∠ABC=90°，知BC⊥AB，由三垂线定理，BC⊥SB，

∴BC⊥平面SAB，

∵AM⊂平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，∴SC⊥AM，

∵AN⊥SC，

∴SC⊥平面AMN．

（2）解：在Rt△SAC中，SA=AC=2，∴SC=2，∵AN⊥SC，∴AM=SC=，∴SN=BN=．

又∵SC⊥面AMN，MN⊂平面AMN．∴SC⊥MN．∵MN=SN•tanθ=tanθ，

∵AM⊥平面SBC，MN⊂平面SBC．∴AM⊥MN．

∵AM===，

∴S△AMN=AM×MN==≤，当且仅当tan2θ=1-tan2θ 等号成立．

∴当tan2θ=，即tanθ=时，S△AMN有最大值为．

（1）证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，

故直线D1B在底面ABCD内的射影为BD，故∠D1BD 为直线D1B与平面ABCD所成角的大小，

再由AB=1，D1D=，可得tan∠D1BD===1，∴∠D1BD=．

（2）由于E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点，可得EF为三角形B1A1C1的中位线，

故有EF平行且等于A1C1．

再由A1C1和AC平行且相等，可得EF∥AC．

再由EF⊂平面EGF，而AC不再平面EGF内，故有AC∥平面EGF．

证明：设B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．

∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，

∴A1B∥OD．

∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面AB1C，

∴直线AB1∥平面BC1D．

证明：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF

∴四边形AEFQ为平行四边形

∴EF∥AQ

又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内

∴EF∥面PAD；

（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A

PA在平面PAD内，AD在平面PAD内

∴CD⊥面PAD

又∵AQ在平面PAD同

∴CD⊥AQ

∵EF∥AQ

∴CD⊥EF；