热门试卷

证明：过a作平面β，使它与α相交，交线为c．

因为a∥α，a⊂β，α∩β=c，所以a∥c．

因为a∥b，所以b∥c，

因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．

（Ⅰ）证明：因为E，F分别是CD，AD的中点，

所以，EF为△ACD的中位线，所以EF∥AC．…（2分）

又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，

所以，EF∥平面ABC．…（4分）

（Ⅱ）证明：连结AE，BE，

在△ACD中，因为AC=AD，E是CD中点，所以AE⊥CD．…（6分）

同理可证，BE⊥CD．…（7分）

又因为，AE∩BE=E，AE⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，

所以，CD⊥平面ABE．…（9分）

又因为，AB⊂平面ABE，

所以CD⊥AB．…（10分）

（1）证明：如图，

连接CB1，C1B交于O，连接OE，因为几何体是三棱柱，所以OD∥A1E，OD=A1E，

所以A1D∥OE，OE⊂平面B1CE，A1D⊄平面B1CE，

所以A1D∥平面B1CE；

（2）建立坐标系，如图

设P（a，b，0），N（0，1，0），M（0，2，3），C（2，0，0），得到=（a，b-1，0），=（0，-1，-3），=（2，-1，0），

设平面MNC的法向量为=（x，y，z），则即，令x=1，则=（1，2，），

cos＜，＞==，

所以直线NP与平面MNC所成角为θ的范围为[0，arcsin]．

解：（1）设二面角A-CD-P的平面角为α，则

取CD中点O，连接AO，BO，则AO⊥CD，BO⊥CD，

∴∠AOB为二面角A-CD-B的平面角，

△AOB中，AB=2，AO=BO=3，

∴cos∠AOB==，

∵AP∥平面BCD，

∴cosα=cos（180°-2∠AOB）=-cos2∠AOB=1-2×=；

（2）△APO中，AP==2，

在BO上取BE=2，则直线AB与平面PCD所成的角等于直线PE与平面PCD所成的角，

设E到平面PCD的距离为h，则由等体积可得•••1•2=，

∴h=，

∴直线AB与平面PCD所成的角的正弦值为÷2=．

（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，

所以 AG⊥EF．

又因为 EF∥AD，

所以 AG⊥AD．

因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，

所以 AG⊥平面ABCD．

因为 CD⊂平面ABCD，

所以 AG⊥CD．

（Ⅱ）证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，

因为 ，所以，

因为 BC=2EF，点G是EF的中点，

所以 BC=4GF，

又因为 EF∥AD，四边形ABCD为正方形，

所以 GF∥MN，GF=MN．

所以四边形GFNM是平行四边形．

所以 GM∥FN．

又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，

所以 GM∥平面ABF．

（Ⅲ）解：点O为线段GC的中点．

解：（1）连接AC，则AC⊥BD．

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，

PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD．

（2）取PC的中点K，连接FK、EK，

则四边形AEKF是平行四边形，

∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，

AF⊄平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

（3）连接EF，因为ABCD是正方形，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．

所以PE=DE=，

所以EF⊥PD，AF∩PD，

所以PD⊥平面AEF．

（1）证明：连接DE，

∵DA=DC=2，DC⊥AD

∴

又∵E是中点，∴DE⊥AC

又∵DP⊥面ABC，AC⊂面ABC

∴AC⊥DP，又DP∩DE=D

∴AC⊥面DPE．又EP⊂面DEP

∴PE⊥AC（1）

在△ABC中，∵

∴AC2+BC2=AB2

∴BC⊥AC（2）（4分）

又PE，AC，BC都在面ABC内，

由（1），（2）知PE∥BC

又∵PE⊄面BCD，BC⊂面BDC

∴PE∥面BDC（7分）

（2）连接PB，∵DP⊥面ABC

∴∠DPB为BD与面ABC所成的角．

在Rt△ABC中，∵，∴∠CAB=60°，∠ABC=30°

在Rt△ACH中，∠ACH=30°

在Rt△DPE中，

在△BCP中，∠BCP=60°，

在Rt△DBP中，

∴

（1）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得

     BD2=AD2+AB2-2AD•ABcos60°=3AD2，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD，

∵DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD．

∴DD1⊥BD，

又AD∩DD1=D，

∴BD⊥平面ADD1A1．

（2）证明：连接AC，A1C1，设AC∩BD=E，连接EA1，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴EC=AC，

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知

A1C1∥EC，且A1C1=EC，

∴四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1∥EA1，

又∵EA1⊂平面A1BD，

∴CC1∥平面A1BD，

证明：如图

取BB1的中点M，∵点E、F分别是侧面对角线AB1、BC1的中点，

由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，而AB⊂平面ABCD，EM⊄平面ABCD内，∴EM∥平面ABCD．

同理可证 FM∥平面A1B1C1D1 ，由平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ，

可得FM∥平面ABCD．

由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．

∵EF⊂平面EFM，

∴EF∥平面ABCD．