热门试卷

（1）证明：∵M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且与AB平行的平面α与BC交于点D，

故AB∥MD，∴D为BC的中点，故NC为△SBC的中位线，∴SC∥ND．

而ND⊂面MND，∴SC∥面MND．

（2）证明：取AB的中点为O，则由△SAB与△ABC均为等边三角形，可得AB⊥SO，AB⊥CO．

而SO∩CO=O，∴AB⊥平面SOC，∴AB⊥SC，∴MD⊥SC．

解：以A为原点，以AO，AB，AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A-xyz．

则B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N．

（1）∵，，，

∴，∴BD⊥OC；

（2），设平面OCD的法向量为，则，

令y=2，则x=0，z=1，∴，

又，∴，

而MN⊄平面OCD，∴MN∥平面OCD．

（3），∴===，

∴异面直线AB与OC所成角的余弦值为．

解：（1）在矩形ABCD中，由条件得AF=DF=，

又AD=2，所以AF2+DF2=AD2，

所以DF⊥AF．

因为PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，

所以DF⊥平面ABCD，所以DF⊥AF，PA∩AF=A，

所以DF⊥平面PAF；

（2）在AD上取点H，使AH=AD，取AD的中点Q，

连接EH、GH、BQ，由EH是△ABQ的中位线，

知EH∥BQ．

而BQ∥DF，所以EH∥DF．

又EH不在平面PFD，DF⊂平面PFD，DF⊂平面PFD，

所以EH∥平面PFD．

由AG=AP，AH=AD，可知GH∥PD，

又GH不在平面PDF，PD⊂平面PDF，

所以GH∥平面PFD，又EH∥平面PDF，GH∩EH=H，

所以

平面EGH∥平面PFD，

所以EG∥平面PFD．

证明：（1）取PB中点G，连结AG，FG，

∵F、G分别为PC、PB的中点，

∴FG∥BC，且，

又E为AD中点，AD与BC平行且相等，

∴AE∥BC，且，

∴AE∥FG且AE=FG，

∴AEFG为平行四边形，…（4分）

∴EF∥AG，又AG⊂面PAB，EF⊄面PAB，

∴EF∥面PAB．…（6分）

（2）∵PA=AB，

∴AG⊥PB

又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，而BC⊥AB，

∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AG，

∴AG⊥面PBC，…（10分）

又EF∥AG，

∴EF⊥面PBC．…（12分）

（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O．由条件得ABCD为正方形，

所以O为AC中点．

∵E为CC1中点，

∴OE∥AC1．

∵OE⊂平面BDE，AC1⊈平面BDE．

∴AC1∥平面BDE．

（2）连接B1E．设AB=a，则在△BB1E中，BE=B1E=a，BB1=2a．

∴BE2+B1E2=BB12．

∴B1E⊥BE．

由正四棱柱得，A1B1⊥平面BB1C1C，

∴A1B1⊥BE．

∴BE⊥平面A1B1E．

∴A1E⊥BE．

同理A1E⊥DE．

∴A1E⊥平面BDE．

解：（1）该几何体的直观图如图示：

（2）证明：由图（甲）知四边形CBED为正方形

∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点

∴FH∥CD，HG∥AE

∵CD∥BE∴FH∥BE

∵BE⊂面ABE，FH⊄面ABE

∴FH∥面ABE

同理可得 HG∥面ABE

又∵FH∩HG=H

∴平面FHG∥平面ABE

又∵FG⊂面FHG

∴FG∥平面ABE

（3）由图甲知AC⊥CD，AC⊥BC，BC⊥CD

∴CD⊥平面ACB，

∴CD⊥AB

同理可得ED⊥AD

∵S△ACB=S△ACD，S△ABE=S△ADE=×2×2=2，SCBED=4，

∴该几何体的全面积

S=S△ACB+S△ACD+S△ABE+S△ADE+SCBED=2+2+4+4=4（2+）．

解：证明：（1）取PD中点F，连EF、CF，则EF∥AD且EF=AD，

由题意四边形BCFE为平行四边形，∴BE∥CF，

∵BE⊄平面PDC，CF⊂平面PDC，

∴BE∥平面PDC；          …（4分）

（2）由题意：AD=2BC=2，PA=3PD=3．

∵AD2+PD2=AP2∴PD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，

∴PD⊥AB，又∴BD⊥AB，

∴AB⊥面PBD；

（1）证明：∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点

∴AE=A1E=，AA1=2，

∴AA12=AE2+A1E2

∴AE⊥A1E

又∵D1A1⊥平面A1EA，AE⊂平面A1EA

∴AE⊥A1D1，又D1A1∩A1E=A1，

∴AE⊥平面A1D1E；

（2）解：由（1）中AE⊥平面A1D1E，

∴VA-A1D1E=•S△A1D1E•AE==

（3）解：取CC1的中点F，连接D1F，

则A1E∥D1F，所以∠AD1F即为求异面直线A1E与AD1所成角．

∵AB=BC=1，AA1=2，∴

∵

∴D1F⊥AF

在△AD1F中，可求得tan∠AD1F==

∴∠AD1F=arctan．

证明：如图所示，

∵A1A⊥底面ABCD，

∴AC是A1C在底面ABCD的射影；

又∵AC⊥BD，∴A1C⊥BD；

同理A1C⊥DC1，

又BD∩DC1=D，BD⊂平面BDC1，DC1⊂平面BDC1，

∴A1C⊥平面BDC1．