热门试卷

证明：（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE

∵AC=AD，

∴AO⊥CD

∵DE∥AB

∴DE⊥平面ACD

∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O

∴CD⊥平面AOF

∵AF⊂平面AOF

∴AF⊥CD．（4分）

解：（ II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图

所以，，

设是平面BCE的一个法向量，

由得取，（6分）

易知是平面ACD的一个法向量，

，

于是平面ACD与平面BCE的夹角等于．（8分）

（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求，（10分）

（12分）

证明：∵AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°

∴建立以A为坐标原点，以AB，AC，AA1分别x，y，z轴建立空间坐标系如图：

∵AA1=AC=AB，

∴设AA1=AC=AB=1，

则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1），

∵点E，F，G分别是棱BB1，A1B1，CC1的中点，

∴F（，0，1），G（0，1，），

则=（，0，1），=（-1，1，），

则•=（，0，1）•（-1，1，）=，

则⊥，即AF⊥BG

解：（1）证：由BD⊥AO，BD⊥OC，得BD⊥平面AOC，

又E，F分别为BC，CD的中点，EF∥BD，

所以，EF⊥平面AOC．（4分）

（2）设EF与交于点G，连接AG．由（1）EF⊥平面AOC，

得AE与平面AOC所成的角为∠EAG．（6分）

AG=，EG=1，AE=，sin∠EAG=，

所以，AE与平面AOC所成角的正弦值为．（8分）

（3）由EF∥BD，得BD∥平面AEF，

所以，点B到平面AEF的距离等于点O到平面AEF的距离

又EF⊥平面AOC，EF⊂平面AEF，得平面AOC⊥平面AEF，

所以，点O到平面AEF的距离点等于点O到AG的距离．（10分）

在△AOG中，AO=4，OG=2，AG=，

所以，点B到平面AEF的距离为．（12分）

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，

∵AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC，

∵AF⊥PC，AE∩AF=A，

∴PC⊥平面AEF，

∴EF⊥PC．

证明：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1

在△BC1C中，

由余弦定理有

故有BC2+BC12=CC12

∴C1B⊥BC

而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC

∴C1B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE

从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE故BE⊥B1E

不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x

又∵则B1E2=1+x2+x

在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4从而x=±1（舍负）

故E为CC1的中点时，EA⊥EB1

（Ⅲ）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M

连DF则DF∥A1B1，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A1B1

连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE

又∵A1B1⊥EB1，BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角

在Rt△DFM中，

∴

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ACD为等边三角形，

又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．…（2分）

又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．  …（3分）

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．   …（5分）

（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．…（6分）

连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．…（8分）

连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，

所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．（10分）

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．…（12分）

解：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

则BB1⊥AB，BB1⊥BC，

又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=

则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，

又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，

则AC⊥平面B1CB；

（2）由于在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

故三棱锥B1-ABC的体积=．

证明：（1）由棱柱性质，可知A1C1∥AC，∵A1C1⊥BC1，

∴AC⊥BC1，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1

（2）由（1）知AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ABC1，

在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC

故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．

解：（3）连接HC，由（2）知C1H⊥平面ABC，

∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，

∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=

V棱柱=

∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，

所以棱柱体积最小值3×．