热门试卷

（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB

∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1．

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．

∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．

连接CE，则CE=CB=，

∵EB=2，∴∠BCE=90°，

∴BC⊥CE．                                                                                     

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE．

∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．                                                      

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                                                     

（2）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．                          

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                         

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．

∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．

解：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，

∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）

（2）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，

所以△BDC为等边三角形，

故BD=4，．

又设PO=x，则，．

由OH⊥BD，则，

又由（1）知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB

所以，

当时，．

此时，EF=BD=2，OH=（8分）

所以••=3．…（12分）

（1）证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC．

因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，又CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD．

（2）多面体ABCDE是一个四棱锥A-BCDE．

因为CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，

又AC⊥BC，CD∩BC=C，所以AC⊥平面BCDE．所以AC是四棱锥A-BCDE的高．

因为AB=5，BC=4，所以．

因为AB=5，，所以BE=4．

所以底面BCDE的面积为BC×BE=4×4=16．

所以．

（本题满分8分）

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（4分）

（2）取PD的中点G，连结AG，FG．

又∵G、F分别是PD、PC的中点，

∴GF平行且等于CD，

∴GF平行且等于AE，

∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．

∵PA=AD，G是PD的中点，

∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，

∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．

∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．（8分）

解：（Ⅰ）∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，

又∵EF⊄平面OBC，BC⊂平面0BC，∴EF∥平面0BC，…（2分）

又∵EF⊂面A1B1C1，面A1B1C1∩面OBC=B1Cl，

∴EF∥B1C1…（4分）

又∵H是EF的中点，AH⊥EF，∴AH⊥B1C1．…（5分）

∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC，

∵B1Cl⊂平面OBC，∴OA⊥B1C1，

又∵OA∩AH=A，OA、AH⊂平面OAH

∴B1C1⊥平面OAH．…（8分）

（Ⅱ）过点E作EM⊥OB1于M，则

∵△AOB中，OA⊥OB，EM⊥OB

∴EM∥OA，且M是OB的中点．

可得EM=OM=1．设OB1=x，则MB1=x-1，

由，得．

解得x=3．即OB1=OC1=3．…（11分）

从而三棱锥O-A1B1C1体积为

．…（14分）

证明：∵AB=AD，CB=CD，E为BD的中点，

∴AE⊥BD，CE⊥BD，

又AE、CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，

∴BD⊥平面ACE．

解：当为1时，能使A1C⊥平面C1BD．

∵当为1时，

∴BC=CD=C1C，

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，

由此可推得BD=C1B=C1D．

∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥．（9分）

设A1C与C1O相交于G．

∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，

∴C1G：GO=2：1．

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C1BD的中心，

∴CG⊥平面C1BD，

即A1C⊥平面C1BD．

解：（1）证明：因为△ABC是正三角形，M是AC的中点，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC；

又PC⊂平面PAC，

所以BD⊥PC；

（2）证明：在正三角形ABC中，AB=2，BM=AB=；

由（1）知，在直角三角形AMD中，MD=AMtan30°=，

所以=；

又因为=，

所以=，

∴MN∥PD；

因为MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，

所以MN∥平面PDC．

（1）解：∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C=90°，

∵，∴AC=BC，

∵O为AB中点，∴CO⊥AB，

∵AB=2，∴CO=1．

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD．

∴CO就是点C到平面BOD的距离，

在Rt△ABD中，，

∴．

（2）在△AOD中，∵∠OAD=60°，OA=OD，∴△AOD为正三角形，

又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．

∴CB⊥DE．

（3）存在，G为的中点．证明如下：

连接OG，OF，FG，

∴OG⊥BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BD

∴OG∥AD，

∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

∴OG∥平面ACD．

在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，

又OF⊄平面ACD，∴OF∥平面ACD，

∵OG∩OF=O，

∴平面OFG∥平面ACD，

又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．