热门试卷

（1）证明：∵OA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴OA⊥CD

∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°，∴△ACD为正三角形，

∵P为CD的中点，∴AP⊥CD

又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）

（2）证明：设N为线段OB的中点，连接MN、CN，则

∵M为OA的中点，∴MN∥AB，且，∴MN∥CP且MN=CP，

∴四边形MNCP为平行四边形，∴MP∥CN

∵MP⊄平面OBC，CN⊂平面OBC

∴MP∥平面OBC；…（10分）

（3）解：∵OA=CD=2，∴，

∴…（14分）

解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，∵BA=BC，DA=DC，∴BD⊥AC．   

又∵平面AA1C1C丄平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，

∴BD丄平面AA1C1C． 

又∵AA1⊂平面AA1C1C，

∴BD丄AA1；

（Ⅱ）过点A1作A1E丄AC于点E，

∵平面AA1C1C丄平面ABCD，

∴A1E丄平面ABCD，

即A1E为四棱柱的一条高．       

又∵四边形AA1C1C是菱形，且∠A1AC=60°，

∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h=A1E=sin60°=         

又∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面面积，

∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=．

解：（1）作DH⊥EF，垂足H，连结BH、GH，

∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊂平面EBCF，

∴DH⊥平面EBCF，结合EG⊂平面EBCF，得EG⊥DH，

∵，EF∥BC，∠ABC=90°．

∴四边形BGHE为正方形，得EG⊥BH．

又∵BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH．

∵BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．

（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．

∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，

∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，

故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x，

又∵．

∴三棱锥D-BCF的体积为V=f（x）==

==．

∴当x=2时，f（x）有最大值为．

（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，

结合DH∥AE，可得∠BDH是异面直线AE与BD所成的角．

在Rt△BEH中，，

∵DH⊥平面EBCF，BH⊂平面EBCF，∴DH⊥BH

在Rt△BDH中，，

∴．

∴异面直线AE与BD所成的角的余弦值为．

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，

∴AD⊥CC1．                   …（2分）

又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，

∴AD⊥平面BCC1B1．            …（5分）

（Ⅱ）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…（7分）

当=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．…（8分）

事实上，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BC C1B1是矩形，且D、E分别是BC，BC1B1的中点，

所以BB1∥DE且BB1=DE．…（10分）

又BB1∥AA1，且BB1=AA1，

∴AA1∥DE，且AA1=DE．     …（12分）

所以四边形AA1DE为平行四边形，所以A1E∥AD．

而A1E在平面ADC1外，故A1E∥平面ADC1． …（14分）

（Ⅰ）证明：在矩形ABEF中，BE=1，AB=2，点M为线段EF的中点，∴BM⊥AM，

∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，

∴BM⊥平面ADM，

∵DM⊂平面ADM，

∴BM⊥DM；

（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，

∴AD⊥平面ABM，

∴AD⊥AM，

设点F到平面DAM的距离为h，则，

∴h=．

解：（1）由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，

∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，

又=CC1×CD=×2×1=1，

∴=AD•=．

（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，

当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．

由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，

∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，

∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，

∴CM⊥平面B1C1M，

∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，

∴B1M⊥平面MAC

证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，

所以，且AO⊥BC，

又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，

且，从而OA2+SO2=SA2．

所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．

又AO∩BO=O．

所以SO⊥平面ABC．

（Ⅱ）解：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，

建立如图的空间直角坐标系O-xyz．

设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点，．∴．

故等于二面角A-SC-B的平面角．

，

所以二面角A-SC-B的余弦值为．

（1）证明：∵AO⊥平面COB，CO⊂平面COB，∴AO⊥CO

∵OB=OC=1，，∴CO⊥BO

∵AO∩BO=O

∴CO⊥平面ABO；

（2）解：F为BC的中点，在CO上任取一点G，均有AG∥平面DEF

∵D、E分别为AB、BO的中点，∴DE∥AO

∵DE⊄平面AOC，AO⊂平面AOC

∴DE∥平面AOC

同理EF∥平面AOC

∵DE∩EF=E

∴平面DEF∥平面AOC

∵AG⊂平面AOC

∴AG∥平面DEF