热门试卷

（本小题满分12分）

解：（I）∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC

又∵BC⊥AC，B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BB1C1C（3分）

（II）

∴四边形BB1C1C为菱形，（5分）

又∵D为BC的中点，BD⊥平面ABC

∴∠B1BC为侧棱和底面所成的角α，∴

∴∠B1BC=60°，即侧棱与底面所成角60°．（8分）

（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，

则A（a，0，0），B（0，a，0），，

平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量为n2=（x，y，z），

由，即，（10分）

，＜n1，n2＞=45°，

∵二面角C-AB-C1大小是锐二面角，

∴二面角C-AB-C1的大小是45°（12分）

（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设PD=CD=2，则P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），

∵=（2，2，-2），=（0，1，1），

∴=0+2-2=0，∴PB⊥DE．

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），

则=（2λ，2λ，-2λ），=+=（2λ，2λ，2-2λ），

由=0得4λ2+4λ2-2λ（2-2λ）=0，

∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，

即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．

解：（1）∵四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．

∴∠CED为异面直线CE与AF所成的角．

∵FA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FA⊥CD，可得ED⊥CD．

∵在Rt△CDE中，CD=1，ED=，

∴CE==3，可得cos∠CED==．

即异面直线CE和AF所成角的余弦值为；

（Ⅱ）过点B作BG∥CD，交AD于点G，

∵BG∥CD，∴∠BGA=∠CDA=45°．

∵∠BAD=∠CDA=45°，

∴∠BGA+∠BAG=90°，可得BG⊥AB，

∵BG∥CD，∴CD⊥AB，

又∵FA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥FA，

∵FA、AB是平面ABF内的相交直线，

∴CD⊥平面ABF

（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC

∴AA1⊥AB，…（2分）

又∵AB⊥AH，AA1∩AH=A，∴AB⊥平面AA1C1C…（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：∠B1A1C1=90°

∵AB=AC=1，BB1=2，∴==

∵E、F分别是棱B1C1、B1B的中点，BB1=2，

∴=，B1F=1…（8分）

又∵BB1⊥平面A1B1C1，

∴三棱锥A1-B1EF的体积为VF-A1B1E==…（12分）

解：（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，

又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，

所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，

又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．

（2）连结AC交BD于O，连OQ

因为O是AC的中点，Q是PC的中点，

所以OQ∥PA．又PA⊄面BDQ，OQ⊂BDQ，

所以PA∥平面BDQ．

（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，

所以，，

因为VP-BCDE=3VQ-ABCD，且底面积，

所以．

证明：（1）∵G、H分别是AM、AD的中点，∴GH∥MD，又∵GH⊄平面MCD，MD⊂平面MCD，∴GH∥平面MCD．

（2）不妨设AB=2．

在三角形ABH中，由余弦定理可得=3，∴，∴AH2+BH2=AB2=4，

∴，∴BH⊥AD．

∵平面MAD⊥平面ABCD，∴BH⊥平面MAD，

∵BH⊂平面BGH，

∴平面BGH⊥平面MAD．

（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC

又DE垂直平分PC，

∴DE⊥PC

∴PC⊥平面BDE，（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD

因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD

BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有

BD⊥DQ（8分）

（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC=

计算得AD=AC所以点Q在线段PA的处，

即AQ=AP时，PC∥QD，从而PC∥平面BDQ．（12分）

解：（Ⅰ）∵AB∥CD，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴CD∥平面PAB．…（2分）

∵CD⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，

∴CD∥m．…（4分）

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴BD⊥PA，

Rt△ABD中，tan∠ABD==；Rt△ACD中，tan∠DAC==

∴tan∠ABD=tan∠DAC，结合∠ABD、∠DAC都是锐角，

得∠ABD=∠DAC=90°-∠ADB

∴∠DAC+∠ADB=90°，得BD⊥AC，

∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．…（8分）

（ III）过点C作CM⊥AB于M，

∵PA⊥平面ABCD，CM⊆平面ABCD，∴CM⊥PA

∵CM⊥AB，PA、AB是平面PBE内的相交直线

∴CM⊥面PBE，

∵，且CM=

∴四面体PBEC的体积为：…（12分）