热门试卷

证明：（Ⅰ）∵∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∵AC⊥AA1，AB∩AA1=A，

∴AC⊥平面ABB1A1，

∴AC⊥A1B

（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，

∴B1C⊥AE

在矩形BCC1B1中，tan∠CB1C1=tan∠EC1C=，

∵∠CB1C1+∠B1CC1=

∴∠B1CC1+∠EC1C═，

∴B1C⊥EC1，

又AE∩EC1=E，

∴B1C⊥平面AEC1．

证明：取AB中点E，连接DE、CE，∵BC=AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，

同理DE⊥AB．

∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，而CD⊂平面CDE，

∴AB⊥CD．

（1）证明：由题意可得四边形A1C1CA是矩形，又=AA1，

∴四边形A1C1CA是正方形，∴A1C⊥AC1．

∵BC⊥CA，CC1⊥BC，BC∩CC1=C，

∴BC⊥平面A1C1CA，∴BC⊥A1C，

∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C．

又AC1∩B1C1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1．

（2）在棱AB上存在一点E为AB的中点，使DE∥平面AB1C1．

证明：取AC的中点F，AB的中点E，连接DF、EF、DE．

由三角形中位线定理可得：DF∥AC1，EF∥BC，即EF∥B1C1．

∵DF⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1．

∴DF∥平面AB1C1．

同理EF∥平面AB1C1．

而DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面AB1C1．

∴DE∥平面AB1C1．

（3）解：设AC1∩A1C=O，由（1）可知：A1O⊥平面AB1C1，

∴A1O即为点A1到平面AB1C1．的距离．

而=．

∴点A1到平面AB1C1．的距离为．

证明：（1）∵AD∥BC，∴=，

∵=，

∴．

∴EF∥PA．

∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB．

∴EF∥平面PAB；

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD．

在直角梯形ABCD中，过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M．

∵AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2，BC=6．

∴BD==4，AC==．

∴BD2+DM2=BM2=82，

∴BD⊥DM．

即BD⊥AC．

又AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC．

（1）证明：∵直角梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，

∴BD=2，AD=2． 

∴在△DSA和△DSB中，有SA2+SD2=42+22=AD2，SB2+SD2=42+22=BD2．

∴SD⊥SA，SD⊥SB

∵SA∩SB=S．

∴SD⊥平面SAB；

（2）解：∵SD⊥平面SAB，△SAB是正三角形，

∴=4．结合几何体，可知VB-SAD=VD-SAB．

于是，VB-SAD=VD-SAB=．

解：（Ⅰ）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥

（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）PD⊥AD，PD⊥CD，

∴PD⊥平面ABCD，则VP-ABCD=×6×6×6=72

（Ⅱ）取PC中点E，连接DE，NE

△PBC中，PN=NB，

∴NE∥BC，且NE=BC，

在正方形ABCD中，MD∥BC，且MD=BC，

∴NE∥MD，且NE=MD

∴四边形MNED为平行四边形

∴MN∥DE

在RT△PDC中，PD=DC

∴DE⊥PC

又∵PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD

∴PD⊥BC

又∵BC⊥DC

∴BC⊥面PDC

又∵DE⊂面PDC

∴BC⊥DE

∴DE⊥面PBC

∵MN∥DE

∴MN⊥面PBC

解：（Ⅰ）取PC中点为F，连接EF，BF

又E为PD的中点，所以EF∥DC且EF=DC

所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形（2分）

所以AE∥BF，因为AE⊄面PBC，所以AE∥面PBC（4分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），

P（0，0，3），E（0，，）（5分）

从而=（2，1，0），=（1，0，-3）

设与的夹角为θ，则

cosθ==-，（7分）

∴AC与PB所成角的余弦值为（8分）

（Ⅲ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G，连PG，

设N为PG的中点，连NE，则NE∥DG，（10分）

∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC从而NE⊥面PAC（14分）

解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，

∵m，n是平面α内的两条相交直线

∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使=λ+μ

又∵l⊥m，l⊥n，∴=0，=0

∴•==λ+μ=0

∴

∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：

l⊥α

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD，

∴PH⊥AB，

∵PH为△PAD中AD边上的高，

∴PH⊥AD，

又∵AB∩AD=A，

∴PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，

∵E是PB的中点，

∴EG∥PH，

∵PH⊥平面ABCD，

∴EG⊥平面ABCD，

则EG=PH=，

∴VE-BCF=S△BCF•EG=••FC•AD•EG=．