热门试卷

（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PDC．

（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD．

∵PH⊥AD，

∴PH⊥平面ABCD，

∴PH⊥BC．

（Ⅲ）解：线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．

证明如下：

如图，分别取PA、PB的中点G、E，

则，

由，

∴．

∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，

∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．

∵G为PA的中点，且PD=AD．

∴GD⊥PA．

∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．

∴EF⊥平面PAB．

解：由于在直棱柱ABC-A1B1中，则CC1⊥平面ABC，

又由∠ACB=90°，所以AC，CB，CC1两两垂直

故可以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为Z轴，建立空间直角坐标系，

则A，，C（0，0，0），，C1（0，0，4）

故，

（1）设平面CEF的法向量为

由于，

则，即得

故平面CEF的一个法向量为

又由于=

故，所以AB1⊥平面CEF；

（2）由（1）知，，

则，

=8

则==；

（3）由于三棱锥E-FCC1的高为E到AC的距离，

△FCC1的面积为，

则三棱锥E-FCC1的体积=

又由，则得三棱锥C1-EFC的体积为．

证明：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，G是平行四边形ABCD所在平面外一点，且GA=GC，

∴GO⊥AC．

又GB=GD，得GO⊥BD，

∵AC∩BD=O，

∴GO⊥平面ABCD．

解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．

设AD=a，则D（0，0，0）

A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），

E（a，，0），P（0，0，z），F（，，）．

（Ⅰ）证明：∵=（-，0，）•（0，a，0）=0，

∴，∴EF⊥CD．

（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．

取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．

又FK∥AD，FK=AD，

∴QF∥DK

∴QF⊥面PBC．

∴DK⊥PC，∵K是PC的中点，所以PD=DC，

底面ABCD为正方形，所以DB=

PB与面ABCD所成角的正切值为：．

解：（Ⅰ）（图1）连接GE、GC

∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，∴AG⊥PD…（2分）

∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴CD⊥平面PAD…（4分）

∵AG⊆平面PAD，∴CD⊥AG，

∵CD、PD是平面PCD内的相交直线，∴AG⊥平面PCD，

∵CG⊆平面PCD，∴AG⊥CG…（6分）

∵△PAD中，E、G分别为PA、PD中点，∴GE∥AD且，

又∵矩形ABCD中，F为BC中点，∴CF∥AD且，

∴CF∥GE且CF=GE，可得四边形CFEG是平行四边形，CG∥EF…（8分）

∴AG⊥EF…（10分）

（Ⅱ）由（I）得CD⊥平面PAD，

∵BC∥AD，AD⊆平面PAD，BC⊈平面PAD，∴BC∥平面PAD，

因此，点F到平面PAD的距离等于CD

∴三棱锥F-PAG的体积为：V=

所以多面体P-AGF的体积等于V三棱锥F-PAG=…（14分）

证明：（1）连接A1D，交AD1于M，连接ME

则点M是A1D的中点

又点E是CD的中点

∴ME∥A1C

又∵A1C⊈面AD1E，ME⊂面AD1E

∴A1C∥平面AD1E

（2）解：假设存在点P满足题意

以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴建立空间直角坐标系

则点A（1，0，0）、E（0，，0）、D1（0，0，1）、A1（1，0，1）

∴，

设P（x，y，z），则

∴

又，

∴（x-1，y，z-1）=λ（-1，1，-1）=（-λ，λ，-λ）

∴x-1=-λ，y=λ，z-1=-λ

∴x=-λ+1，y=λ，z=-λ+1，即P（-λ+1，λ，-λ+1）

∴

∵DP⊥平面AD1E

∴

∴

∴

∴

∴在A1C上存在点使得DP⊥平面AD1E，

此时

∴

∴

又∵

∴

（1）证明：作PM⊥C1D1于M点，则M为C1D1的中点，连接AM．

∵平面PC1D1⊥平面A1B1C1D1

∴PM⊥平面A1B1C1D1

∵PD1=PC1=．

∴

∴PM∥AA1且PM=AA1∴四边形AMPA1是平行四边形

∴PA1∥AM

∵PA1⊄平面ABC1D1，AM⊂平面ABC1D1，

∴PA1∥平面ABC1D1

（2）解：连接A1D，则A1D⊥AD1，设垂足为O．

∵平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，平面ABC1D1∩平面ADD1A1=AD1

∴A1D⊥平面ABC1D1

易得点A1到平面ABC1D1的距离

由（1）知：PA1∥平面ABC1D1

∴点P到平面ABC1D1的距离即为点A1到平面ABC1D1的距离．

∴点P到平面ABC1D1的距离为．

（1）证明：连接AF，则，

∵AD=4

∴AF2+DF2=AD2

∴AF⊥DF…（3分）

∵PA丄平面ABCD，

∴PA⊥DF，

∵PA∩AF=A

∴DF⊥平面PAF…（6分）

（2）解：过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=AD．

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，

∴平面GEH∥平面PFD．…（10分）

∵EG⊂平面GEH，∴EG∥平面PFD．

从而满足AG=AP的点G为所求．…（12分）