热门试卷

解：（I）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵∠B1A1C1=90°，即A1C1⊥A1B1，A1B1、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，可得AB1⊥A1C1

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，

∴四边形AA1B1B是正方形，可得AB1⊥A1B，

又∵A1B、A1C1是平面A1BC1内的相交直线，

∴AB1⊥平面A1BC1；

（II）连结AD，设AB=AC=AA1=1，

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成角

∵等腰Rt△A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D=B1C1=，

又∵Rt△A1DA中，AD==，

∴sin∠A1DA=，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值等于．

解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；

∴；

∴A1B⊥BC；

又A1B⊥BD，BD∩BC=B；

∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；

∴平面A1BD⊥平面BCD；

（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；

∴，；

∴；

∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；

（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；

∴设E（x，x，1-x），x∈[0，1]；

∴；

∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；

∴=；

解得x=，或2（舍去）；

∴；

即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．

（1）证明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH⊂平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H为PC的中点，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

设平面ABH的法向量为=（x，y，z），则，取=（2，-1，1）．

设PM与平面AHB成角为θ，

则sinθ====．

（3）假设在线段PB上存在点N，使得MN∥平面ABC．

设，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量为=（0，0，2），

∴=3-4λ=0，解得．

∴点N是靠近B点的四等分点．

证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB

所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE

又AE⊂平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；

解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系

则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）

假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z），得，

所以，即N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD，

设直线PC与平面PBD所成的角为θ，

易得

设与的夹角为α，则，

故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

解：（1）证明：如图，连接BD交AC于O，连接PO，则：

PO为△BDF的中位线；

∴PO∥BF，即BF∥PO；

PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；

∴BF∥平面ACP；

（2）∵∠ACD=90°；

∴AC⊥AB；

∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；

∴AF⊥平面ABCD；

∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；

∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），C（0，，0），F（0，0，1），D（）；

设P（x，y，z），设；

∴；

∴；

∴；

过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：

GH⊥AC，PH⊥AC；

又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；

∴向量和的夹角即为二面角P-AC-F的大小；

并且H的坐标为（0，，0）；

∴，；

∵二面角P-AC-F的正弦值为；

∴二面角P-AC-F的余弦值为；

∴==；

解得，或λ=2（舍去）；

∴；

∴；

为平面ABCD的法向量，设AP与平面ABCD所成角为θ，则：

sinθ==；

∴AP与平面ABCD所成角的大小为．

解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中

因为A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD 

（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a

在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，

即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．