直线、平面平行的判定及其性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题

正四棱锥V-ABCD中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，E为侧棱VA的中点，则EC与底面ABCD所成角的正切值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题得：V在底面ABCD中的射影为底面中心O．

．

取AO中点F，连接EF，则EF∥VO

∴EF⊥底面ABCD，

∠ECF即为EC与底面ABCD所成角

因为底面正方形的边长为2⇒AC=2，

故VO===1．

∴EF=VO=．

则FC=OC+FO==．

∴tan∠ECF===．

故EC与底面ABCD所成角的正切值为：．

故选B

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题型：单选题

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单选题

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：如图所示，

∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，

∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．

∵==．

∴V三棱柱ABC-A1B1C1==，解得．

又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，

在Rt△AA1P中，，

∴．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则侧棱与底面所成的角大小为______．

正确答案

arccos

解析

解：如图，过正四棱锥的顶点S向底面作垂线，垂足必落在底面中心O处．

连接AO，则AO=×4=2

∴AO为侧棱SA在底面ABCD内的射影，

∠SAO为侧棱与底面所成的角．

在Rt△SAO中，cos∠SAO==，

∴∠SAO=arccos

故答案为arccos

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC．

（2）设PA=，试问C运动到何处时，AC与平面PBC所成的角为？（只需求出符合条件时AC的长）

正确答案

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

解析

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

又∵PA⊥BC，

∴PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PCB，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：过A作AH⊥PC于H，

∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，

∴AH⊥平面PBC，

∴∠ACH为AC与平面PBC所成的角，

Rt△PAC中，tan∠ACH==，

∴AC=1．

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题型：填空题

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填空题

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：建立如图所示的坐标系，则B1（2，2，2），N（0，2，1），B（2，2，0），D（0，0，0），M（0，1，2）．

设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则

∵=（2，2，0），=（0，1，2），

∴，

∴=（2，-2，1），

∵=（-2，0，-1），

∴直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为||=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB，M是PB的中点

（Ⅰ）求直线AC与直线PB所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线AB与面ACM所成角的正弦值．

正确答案

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

解析

解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．

（1）因=（1，1，0），=（0，2，-1）

||=，|=，|

所以cos＜，＞==．

所以，AC与PB所成的角余弦值为．

（2）∵M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0），=（0，2，0），

∴面ACM的法向量为=（x，y，z），

，，=（1，-1，2），

∴cos＜，＞==，

∴直线AB与面ACM所成角的正弦值．

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD为正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，M为侧棱PB上一点．

（Ⅰ）求直线PC与平面PAD所成的角；

（Ⅱ）是否存在点M使直线BD⊥平面MAE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴CF⊥侧面PAD，

于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．

由条件得，CF=1，

在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，

∴PF=，

在直角△PFC中，tan∠CPF==，

∴∠CPF=30°，

即直线PC与平面PAD所成的角为30°．

（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．

要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，

在△PBD中，PD=1，PB=BD=，

cos∠PBD==，

∴BM===，PM=PB-BM=，

故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且．

解析

解：（Ⅰ）过点C作CF⊥AD于F，连接PF，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴CF⊥侧面PAD，

于是∠CPF是直线PC与平面PAD所成的角．

由条件得，CF=1，

在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，

∴PF=，

在直角△PFC中，tan∠CPF==，

∴∠CPF=30°，

即直线PC与平面PAD所成的角为30°．

（Ⅱ）假设存在点M使直线BD⊥平面MAE．

要使BD⊥平面MAE，∵ABED为正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，

在△PBD中，PD=1，PB=BD=，

cos∠PBD==，

∴BM===，PM=PB-BM=，

故存在点M使直线BD⊥平面MAE，且．

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题型：填空题

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填空题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱B1C1，AD的中点，则直线MN与底面ABCD所成角的大小是______．

正确答案

45°（或）

解析

解：连接AB1，

∵M，N分别是棱B1C1，AD的中点，

∴AB1∥MN，

∴直线AB1与底面ABCD所成角等于直线MN与底面ABCD所成角

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴直线MN与底面ABCD所成角为45°

故答案为45°．

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题型：填空题

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填空题

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为______．

正确答案

解析

解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．

∵EF⊥BC，CC1⊥BC

∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD

∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）

由题意，得EF=．

∵（8分）

∵EF⊥DF，∴．（10分）

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．

（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PDE；

（Ⅱ）设F、M分别为PC、DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AB=2AD，E为AB的中点，

∴AE=AD，

∴∠BAD=60°，

∴△ADE为正三角形，

∴∠AED=60°，

∵BE=BC，∠CBE=120°，

∴∠CEB=30°，

∴CE⊥DE，

∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，

∴CE⊥平面PDE，

∴平面PCE⊥平面PDE；

（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则

∵F为PC的中点，

∴FG∥CE，

∴FG⊥平面PDE，

连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．

设AD=2，则GM=PD=1，

在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则

CE2=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2，

∴FG=．

在直角△FGM中，tan∠FMG==，

∴∠FMG=60°，

∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．

解析

（Ⅰ）证明：∵AB=2AD，E为AB的中点，

∴AE=AD，

∴∠BAD=60°，

∴△ADE为正三角形，

∴∠AED=60°，

∵BE=BC，∠CBE=120°，

∴∠CEB=30°，

∴CE⊥DE，

∵平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE=DE，

∴CE⊥平面PDE，

∴平面PCE⊥平面PDE；

（Ⅱ）解：取PE中点G，连接FG，则

∵F为PC的中点，

∴FG∥CE，

∴FG⊥平面PDE，

连接MG，则∠FMG为直线MF与平面PDE所成的角．

设AD=2，则GM=PD=1，

在△BCE中，BE=BC=2，∠CBE=120°，则

CE2=4+4-2•2•2cos120°=12，∴CE=2，

∴FG=．

在直角△FGM中，tan∠FMG==，

∴∠FMG=60°，

∴直线MF与平面PDE所成的角为60°．

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