热门试卷

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；

（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是．

过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，

则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．

设BG=x，则△ADG的面积为1，AG=，

直角三角形PAG的面积为，

在直角三角形PAD中，PD=，

由sin∠DPO=，得DO=PDsin∠DPO=1．

由等积法，得VP-ADG=VD-PAG，即PA•S△ADG=DO•S△PAG，

1=，解得x=．

故在边BC上一点G，使得BG=，PD与平面PAG所成的正弦是．

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴=（2，-1，0），=（0，2，-1）

∴cos＜，＞==-              …（4分）

∴异面直线EB与AC所成角的余弦值为…（5分）

（2）设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，∴可取=（1，1，2），…（7分）

∴，…（8分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（9分）

（3）E点到面ABC的距离

∴E点到面ABC的距离为…（12分）

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG=PC=．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．

所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．

（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时

因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．

（1）因为AB=AC=1，AA1=3，，

所以各点的坐标为A（0，0，0），E（1，0，1），A1（0，0，3），

F（0，1，2）．，．                                …（2分）

因为，，

所以．所以向量和所成的角为120°，

所以异面直线AE与A1F所成角为60°．                       …（4分）

（2）因为E（1，0，3λ），F（0，1，2），所以．

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），

则，且．

即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，则x=-3λ，y=-2．

所以=（-3λ，-2，1）是平面AEF的一个法向量． …（6分）

又，则，

又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，

所以，解得，．        …（10分）

解：（1）如图，取AB的中点F，连接EF，CF，则：EF∥PA，CF∥AD；

PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD；

∴PA⊥AB；

∴EF⊥AB；

∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；

∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；

∴AB⊥平面EFC，CE⊂平面EFC；

∴AB⊥CE，即CE⊥AB；

（2）由题意知，四边形ABCD为梯形，；

∴；

（3）CF⊥AB，CF⊥PA；

∴CF⊥平面PAB；

∴∠CEF为CE与平面PAB所成的角；

∵∠PDA=60°，∴；

∴，CF=AD；

∴；

∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．