- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
正确答案
解析
解：如图所示，把此三棱柱沿着AA1剪开展开为：
当蚂蚁爬过的路程最短时，点M，N分别是对角线AA1与CC1，BB1的交点，
因此直线MN与平面ABC所成角即为∠MAC，
∴sin∠MAC=
故答案为：
A、B、C是表面积为64π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成角是（ ）
正确答案
解析
解：由题意截面ABC所在小圆，BC为直径，A、B、C是表面积为64π的球的半径为：4πr2=64π，半径为4，即OA=4，BC 的中点与球心连线与截面ABC垂直，所以直线OA与截面ABC所成角的余弦为：
故选C
正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为______．
正确答案
解析
解：如图所示，连接EF．
不妨设BC=2，由正四面体可知：每个面都为正三角形，
∴DE⊥BC，
在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF=
∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为
故答案为
（l）求直线SB与平面SAC所成角的正弦值；
（2）求几何体SABC的正视图中△S1A1B1的面积；
（3）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由．
正确答案
∵SO⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，
∴BH⊥SO．
又SO∩AC=O，
∴BH⊥平面SAC，
即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．
在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，
∴∠ACB=60°，
在Rt△BSH中，∵SB=4，
∴
即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为
（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边
而HC=2cos60°=1，∴
又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=
∴
（3）存在．
证明如下：
如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，
在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．
∵SO⊥平面ABC．
而AP⊂平面ABC，∴AP⊥SO．
又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，
∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB．
又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，
∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，
即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．
解析
∵SO⊥平面ABC，BH⊂平面ABC，
∴BH⊥SO．
又SO∩AC=O，
∴BH⊥平面SAC，
即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．
在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，
∴∠ACB=60°，
在Rt△BSH中，∵SB=4，
∴
即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为
（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S1A1B1的边
而HC=2cos60°=1，∴
又△S1A1B1的边A1B1上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=
∴
（3）存在．
证明如下：
如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，
在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．
∵SO⊥平面ABC．
而AP⊂平面ABC，∴AP⊥SO．
又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，
∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB．
又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，
∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，
即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．
（1）求该三棱柱的侧面积；
（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
正确答案
所以S侧=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中点E，连接DE、C1E，
则ED∥AB，所以，∠C1DE（或其补角）就是异面直线AB与C1D所成的角．…（8分）
在△C1DE中，
所以
所以，异面直线AB与C1D所成角的大小为
（或
解析
所以S侧=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中点E，连接DE、C1E，
则ED∥AB，所以，∠C1DE（或其补角）就是异面直线AB与C1D所成的角．…（8分）
在△C1DE中，
所以
所以，异面直线AB与C1D所成角的大小为
（或
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为60°，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由．
正确答案
证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，
则
则
而平面BCD的一个法向量
则由
解得y=0，
故存在F，且F为BC的中点，使得PF与面DBC所成的角为60°．
解析
证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，
EO∥DC所以EO⊥BC．（1分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO（3分）
所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE（4分）
（II）以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，
则
则
而平面BCD的一个法向量
则由
解得y=0，
故存在F，且F为BC的中点，使得PF与面DBC所成的角为60°．
正确答案
解析
解：把图形补成直棱柱，则
∵BC⊥平面DCC1D1，∴平面PBCD1⊥平面DCC1D1，
作DE⊥CD1，则DE⊥平面PBCD1，∴∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，
DP=
∴sin∠DPE=
∵
∴0＜
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是
故答案为：
正三棱锥的侧棱长为2
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图，正三棱锥S-ABC，底面中心为O，取BC中点D，连接SO，BO，OD，则：
SO⊥底面ABC，OD⊥BC；
∴∠SBO为侧棱SB和底面ABC所成角为60°；
∴∠SBO=60°，SB=
∴在RT△SBO中，OB=
∴
∴
∴
故选：C．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过DD1的中点作直线l，使得l与BD1所成角为40°，且与平面A1ACC1所成角为50°，则l的条数为（ ）
正确答案
解析
在平面ACC1A1内，以点O为圆心，半径为
故选：B．
Rt△ABC的斜边AB在平面a内，且平面ABC和平面a所成二面角为60°，若直角边AC和平面a成角45°，则BC和平面a所成角为______．
正确答案
30°
解析
解：过点C做CD垂直平面a，CE垂直AB，连接AD，BD，CE，DE
设CD=h，如图所示：
∵平面ABC和平面a所成二面角为60°，若直角边AC和平面a成角45°，
易得∠CED=60°，∠CAD=45°
则AC=
设BC=a，则∵BC•AC=AB•CE得：
BC=2h
故sin∠CBD=
故∠CBD=30°
故答案为：30°
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