- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
正确答案
解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．
因为
所以
所以
所以
因为
所以
因此
则
解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则
所以
设θ为AK与平面SBC所成的角，
因为
所以：
所以
解析
解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．
因为
所以
所以
所以
因为
所以
因此
则
解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则
所以
设θ为AK与平面SBC所成的角，
因为
所以：
所以
正确答案
60°
解析
由容器中的水是原来的
则l′=
设圆柱的母线与水平面所成的角为α
则tanα=
故答案为：60°
已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．
正确答案
解析
解：在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．
△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，
因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．
设PE=1，∵∠OPE=30°∴OP=
在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．
在直角△DOP中，OP=
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是______．
正确答案
解析
解：由题意，设棱长为2a，则
∵
∴
∵S△AMB=a2
设点B到平面AMC1的距离为h，
根据
∴
设BC1与平面AC1M所成角为α，则
∴
故答案为
（I）证明：PC⊥BD；
（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值．
正确答案
（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影为AC
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：设正方形的中心为O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
设AB=1，则PA=2，
∴
即所求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
解析
（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影为AC
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：设正方形的中心为O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
设AB=1，则PA=2，
∴
即所求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成角的余弦值大小为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为A1B1⊥平面BCC1B1．
所以A1B1⊥BC1．
又因为BC1⊥B1C，BC1∩B1C=O
所以BC1⊥平面A1B1CD
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，
所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，
所以在△A1BO中，A1B=
所以sin∠BA1O=
所以cos∠BA1O=
故选：D．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（ ）
正确答案
解析
因为∠CAD1=60°，所以∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面CAD1内有一条满足要求；
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
过角平分线与平面ACD1垂直的平面，满足要求；
故符合条件的平面有2个．
故选：C．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；
（Ⅱ）求直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值．
正确答案
（Ⅰ）证明：连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，则E是AC1中点，
∵D是AB中点，∴DE∥BC1，
又∵DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
∴BC1∥面CA1D；
（Ⅱ）设点B1到平面A1DC的距离为h，则
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，D为棱AB的中点，AC=BC=BB1=2，
∴A1D=
∴由勾股定理可得CD⊥A1D，
∵AB∩A1D=D，
∴CD⊥平面A1B，
由
∴h=
∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为
解析
（Ⅰ）证明：连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，则E是AC1中点，
∵D是AB中点，∴DE∥BC1，
又∵DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，
∴BC1∥面CA1D；
（Ⅱ）设点B1到平面A1DC的距离为h，则
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，D为棱AB的中点，AC=BC=BB1=2，
∴A1D=
∴由勾股定理可得CD⊥A1D，
∵AB∩A1D=D，
∴CD⊥平面A1B，
由
∴h=
∴直线A1B1与平面A1DC的所成角的正弦值为
（1）求证：BC⊥平面PED
（2）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
正确答案
解：（1）证明：
∴AB2+BC2=AC2；
∴BC⊥AB；
D，E分别是BC，AC中点；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中点；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
（2）PA=
∴由余弦定理cos∠PCA=
在△PCE中，PC=4，CE=4；
∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；
∴△PDE为等边三角形；
∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；
又BC⊥平面PED，EF⊂平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；
容易求出EF=
∴
即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为
解析
解：（1）证明：
∴AB2+BC2=AC2；
∴BC⊥AB；
D，E分别是BC，AC中点；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中点；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
（2）PA=
∴由余弦定理cos∠PCA=
在△PCE中，PC=4，CE=4；
∴由余弦定理得PE=2，DE=2，并可求得PD=2；
∴△PDE为等边三角形；
∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD；
又BC⊥平面PED，EF⊂平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角；
容易求出EF=
∴
即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为
（1）求以A为顶点，四边形D1DCH为底面的四棱锥的体积；
（2）求证：BC1⊥平面A1B1CD；
（3）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．
正确答案
∴
故所求四棱锥体积为
=
（2）由题意四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1∴A1B1⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1．（8分）
又∵B1C∩A1B1=B1，B1C⊂平面A1B1CD，A1B1⊂平面A1B1CD∴BC1⊥平面A1B1CD．
（3）如图，连A1O，由（1）知BC1⊥平面A1B1CD，O为
垂足，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在
所以∴
因此，直线A1B与平面A1B1CD所成的角为300．
解析
∴
故所求四棱锥体积为
=
（2）由题意四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1∴A1B1⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1．（8分）
又∵B1C∩A1B1=B1，B1C⊂平面A1B1CD，A1B1⊂平面A1B1CD∴BC1⊥平面A1B1CD．
（3）如图，连A1O，由（1）知BC1⊥平面A1B1CD，O为
垂足，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在
所以∴
因此，直线A1B与平面A1B1CD所成的角为300．
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