- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E为棱CC1的中点时，求直线A1E与平面A1BD所成角的正弦值．
正确答案
由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E⊂面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O⊂面A1OE，A1E⊂平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=
满足
由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，
故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．
又sin∠EA1O=
故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是
解析
由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E⊂面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O⊂面A1OE，A1E⊂平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=
满足
由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，
故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．
又sin∠EA1O=
故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．
正确答案
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC
∴NE
∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD． …（7分）
（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．
则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）
由AB=1，
由AC•CD=AD•MF，得
在Rt△AMN中，AM=AN=1，得
在Rt△MNF中，
直线MN与平面PAD所成角的正切值为
方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB=1，
如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则
设平面PAD的一个法向量为
由
设MN与平面PAD所成的角为θ，则
解析
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC
∴NE
∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD． …（7分）
（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．
则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）
由AB=1，
由AC•CD=AD•MF，得
在Rt△AMN中，AM=AN=1，得
在Rt△MNF中，
直线MN与平面PAD所成角的正切值为
方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB=1，
如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则
设平面PAD的一个法向量为
由
设MN与平面PAD所成的角为θ，则
在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．若F是AC的中点，连接PF，EF．
（1）求证：AC⊥平面PEF．
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的大小．
正确答案
解：（1）∵PA=PC，∴PF⊥AC．
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P．PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
（2）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1．
∴
∴AD=CD=AC=2．
∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC．
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°．
解析
解：（1）∵PA=PC，∴PF⊥AC．
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P．PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
（2）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1．
∴
∴AD=CD=AC=2．
∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC．
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°．
（1）证明：CC1∥平面A1PQ；
（2）若直线BC⊥平面A1PQ，求直线A1Q与平面BCC1B1所成角的余弦值．
正确答案
（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△BEP≌△C1CP，E是BB1的中点，
∴
∴PQ∥EB∥C1C，
∵CC1⊄平面A1PQ，PQ⊂平面A1PQ，
∴CC1∥平面A1PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C1C，
∴PQ∥AA1，
∴BC⊥平面A1PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2
延长QP与C1B相交于点H，连接A1H，A1Q，则
∵CC1⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC1B1，
∵PQ∥AA1，HQ∥AA1，
∴四边形A1AHQ是平行四边形，
∴A1H∥AQ，
∴A1H⊥平面BCC1B1，
∴直线A1Q与平面BCC1B1所成角为∠A1QH，
∴cos∠A1QH=
解析
（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△BEP≌△C1CP，E是BB1的中点，
∴
∴PQ∥EB∥C1C，
∵CC1⊄平面A1PQ，PQ⊂平面A1PQ，
∴CC1∥平面A1PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C1C，
∴PQ∥AA1，
∴BC⊥平面A1PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2
延长QP与C1B相交于点H，连接A1H，A1Q，则
∵CC1⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC1B1，
∵PQ∥AA1，HQ∥AA1，
∴四边形A1AHQ是平行四边形，
∴A1H∥AQ，
∴A1H⊥平面BCC1B1，
∴直线A1Q与平面BCC1B1所成角为∠A1QH，
∴cos∠A1QH=
（1）求异面直线A1B与AC所成角的大小；
（2）若直线AM与平面ABC所成角为
正确答案
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4
∴BC1=
∴cos∠BA1C1=
∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos
（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=
∵BC=2
∴MC=2
∵
∴
即多面体ABM-A1B1C1的体积为
解析
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4
∴BC1=
∴cos∠BA1C1=
∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos
（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=
∵BC=2
∴MC=2
∵
∴
即多面体ABM-A1B1C1的体积为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：取PC中点E，连接AE，DE，则DE∥BC
∵BC⊥AC，BC⊥PA
∴BC⊥平面PAC
∴DE⊥平面PAC
∴∠DAE就是直线AD与平面PAC所成的角
设PA=AB=2a，在△DAE中，DE=
∵sin∠DAE=
故选A
在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是______．
正确答案
60°
解析
解：由题意可得，三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，
设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE=
∴∠ADE=60°，
故答案为 60°．
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
正确答案
解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC1，A1B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF2=FG•FD=
∵EF=1，∴FD=
于是ED=
∵FC=
∴AB=2
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin
（Ⅱ）连接A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，
则
∴
即A1到平面AED的距离为
解析
解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC1，A1B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF2=FG•FD=
∵EF=1，∴FD=
于是ED=
∵FC=
∴AB=2
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin
（Ⅱ）连接A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，
则
∴
即A1到平面AED的距离为
（1）证明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求PQ与平面AA1D1D所成的角．
正确答案
∴PQ∥DC1且PQ=
∵PQ⊄平面DD1C1C，DC1⊂平面DD1C1C，
∴PQ∥平面DD1C1C；…（6分）
（2）解：∵PQ∥DC1，
∴PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等，
∵DC1与平面AA1D1D所成的角为45°，
∴PQ与平面AA1D1D所成的角为45°．…（12分）
解析
∴PQ∥DC1且PQ=
∵PQ⊄平面DD1C1C，DC1⊂平面DD1C1C，
∴PQ∥平面DD1C1C；…（6分）
（2）解：∵PQ∥DC1，
∴PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等，
∵DC1与平面AA1D1D所成的角为45°，
∴PQ与平面AA1D1D所成的角为45°．…（12分）
正确答案
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
则O（2，0，2），M（2，2，0），
设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由
且
令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，则
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为
解析
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
则O（2，0，2），M（2，2，0），
设平面ODM的法向量n=（x，y，z），则由
且
令x=2，则y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，则
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为
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