热门试卷

解：连接AC，设AC∩BD=O，连接PO

∵PD⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD∴PD⊥CO

由ABCD为正方形，知CO⊥BD

∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD

∴∠CPO是直线PC与平面PBD所成的角

在Rt△POC中，=

∴

∴直线PC与平面PBD所成的角为

（2）建立如图所示的空间直角坐标系D_xyz，设线段PB上存在一点E，使得PC⊥平面ADE

则存在实数λ，使得（0≤λ≤1）

∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴  

∴==（2λ，2λ，2-2λ）

由题意显然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD     要使PC⊥平面ADE，只需

即∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0

∴

故在线段上存在一点E（E为线段的中点）使得PC⊥平面ADE

（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．

∵EB⊂平面ABE，

∴DA⊥EB．

∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，

故得EB⊥平面DAE．

∵AF⊂平面DAE，

∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，

故得AF⊥平面DEB．

∵DB⊂平面DEB，

∴AF⊥DB．

（2）∵平面ABCD⊥面ABE，

∴过E作EH⊥AB，

则EH⊥面ABCD，

即∠EDH为DE与平面ABCD所成角，

设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，

△ABE的面积为S==r•EH．圆柱的底面积S=π•r2，

∵若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π，

∴r•EH•π=π•r2，

解得EH=r，

∴点H为圆柱底面圆的圆心，

则tan=，

即直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．

∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD…（8分）

（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．

∵E是PC中点，

∴，

∴EBGH为平行四边形，…（9分）

∵PD⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD连接AH，…（10分）

∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…（13分）

∵AD=2DC，

∴在Rt△ADH中，AH=DC …（14分）

∴在Rt△AGH中，AG=CD，

∴sin∠GHA==．…（15分）