热门试卷

（1）证明：如图，建立空间直角系，则

．

当时，，此时，，

∵，∴MN⊥AA1．

（2）解：设平面ABN的法向量，则，

即，取．

而，

∴==，

∵0＜λ＜1，∴，

故=，

当且仅当，即时，等号成立．

∴sinθ的最大值为．

（Ⅰ）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥PA．

又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）如图所示距离空间直角坐标系．

当k=时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2，∴AP=，

∴OP=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，），

∴，，．

设平面PBC的法向量为，

则即

令z=1，则=y．∴．

设直线PA与平面PBC所成的角为θ，

则==．

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC==kPA，∴，可得=．

∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，

），，．

设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G．

假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．

∴，即，又k＞0，解得k=1．

∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，

又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分

在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分

又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分

而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

∴…5分

设平面AD1E的法向量为，则，即

令z=1，则…7分     

∴…8分

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分

（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．

设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则

∵BP∥平面AD1E

∴，即，

∴2（t-1）+1=0，解得，…12分

∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．

（方法一）（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC

因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC

因为AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，

因为AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）

又因为PA=AD，点E是棱PD的中点，所以AE⊥PD，

因为PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，

因为PC⊂平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）

（2）解：过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形可得，

又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，

因为AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，

所以∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角，（10分）

设AD=1，得到FH=，

在RT△PAH中，，．（14分）

（方法二）（1）证明：以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）

∵点E、F分别是棱PD、BC的中点，

∴，，，（4分）

∴，∴AE⊥PC．（6分）

（2）解：由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，

∵AD∩PA=A，∴BD⊥平面PAC

取平面PAC的法向量=（-1，1，0），（10分）设直线PF与平面PAC所成的角θ，则

∴，∴，（13分）

故．（14分）

（Ⅰ）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a，

连接AC1，AB1，

∵BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1

∵BC∩A1C=C

∴AC1⊥平面A1BC；  

（Ⅱ）设直线AC1与A1C相交于点Q，连接BQ，则∠QBC1是直线BC1和平面A1BC所成角

∵BC⊥QC，BC=a，CQ=

∴=

∵

∴在直角△QBC1中，∠QBC1=30°

（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，

又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）

由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．

所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）

又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．

所以=（0，2，-2），=（-1，1，1），

所以•=0，…（6分）

所以PD⊥BQ．…（7分）

（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），

则∵=（0，2，-2），=（-1，1，0），

∴，…（9分）

令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）

∵=（-1，1，1），

∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）

（1）证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC

又在直三棱柱中，BB1⊥底面ABC，

AD⊂底面ABC，

∴AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，…2′

∵B1F⊂平面BCC1B1

∴AD⊥B1F，在矩形BCC1B1中，C1F=CD=a，CF=C1B1=2a，

∴Rt△DCFRt≌△FC1B1，…5′

∴∠CFD=∠C1B1F，∴∠B1FD=90°，即B1F⊥FD

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD…6′

（2）解：

∴AD⊥DF，

∴，

∵Vc-AFD=VF-ACD…15′

∴…9′

（3）解：当AE=2a时，BE∥平面ADF．

证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，

连DM，∵AE=CF=2a，

∴AEFC为矩形，

∴M为EC中点，∵D为BC中点，…13′

∴MD∥BE，∵MD⊂平面ADF，

BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．…16′