热门试卷

解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF⊂平面PBC，EF∥平面PAC

∴EF∥PC

∵PF=FB，

∴BE=EC，即

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD

∵PA=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°

∴AD=

∴，

∵CD⊥DA，CD⊥AP，DA∩AP=A

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD

∴，

∴三棱锥P一ADC的表面积为2×+2×1=2+

三棱锥P一ADC的体积为

解：（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C1D，

∵B1C1∥BC，B1C1=BC，BC∥AD，BC=AD，

∴四边形ADC1B1为矩形，且AB1∥C1D，

∴∠BC1D为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角．由已知条件和余弦定理可得．

∴异面直线AB1与BC1所成的角为．

（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB1，

∴MP⊥平面ABC，又NP⊂平面ABC，

∴MP⊥NP．，MP=3，

∴．

（3）由（2）知，MN与底面所成的角为∠MNP，且NP=2，

，．

解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面

连接AC，∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角，

∴

∴；

（2）∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成角，∴

∴；

（3）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3．

∴四棱锥P-ABCD的表面积=4×4×3=48．

（1）证明：∵BD是底面圆的直径，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC；

由圆柱可得：母线AB⊥底面BCD，∴AB⊥CD；

又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．

（2）连接DE，由（1）可知：CD⊥BE．

∵E是AC的中点，AB=BC，∠ABC=90°．

∴BE⊥AC，

又AC∩CD=C，∴BE⊥平面ACD．

∴∠BDE是直线BD与面ACD所成的角．

在Rt△ABC中，AB=BC=2，AE=EC，∴BE==，

在Rt△BCD中，BC=2，∠CBD=45°，∴．

由BE⊥平面ACD，∴BE⊥ED，即∠BED=90°．

∴，

又∠BDE是锐角，∴∠BDE=30°．

（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，以AP所在直线为z轴，AB，AD所在直线为x，y轴，

则A（0，0，0）、D（0，4，0）、P（0，0，4）．B（2，0，0）

中点M（0，2，2），C（2，4，0）

=（0，2，2），=（0，4，-4），=（-2，0，0），

则=0+8-8=0，=0，即AM⊥PD，AM⊥CD，

则AM⊥平面PCD；

（2）解：设直线BD与平面PCD所成的角为θ，

由（1）知面PCD的法向量可取为，

=（-2，4，0）

则；

（3）解：由已知，

cos＜＞===．

解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．

又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，

所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，

从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°．

并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，

∠ABB1=45°．

作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．

∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°，

∴DB=DB1=AA1=a，

∴AB=2a．

由于棱台的两个底面相似，故

Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．

∵B1C1=A1B1=a，AB=2a，

∴BC=2a．

∴S上=A1B1×B1C1=．

S下=AB×BC=2a2．

V棱台=•A1A•

=•a•．