- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
已知二面角α-l-β等于90°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，已知AB=5，AC=3，BD=4，则CD与平面α所成角的正弦值为______．
正确答案
解析
∵二面角α-l-β等于90°，BD⊥l，
∴∠BCD就是CD与平面α所成角．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，∴BC=
在Rt△DBC中，BD=4，∴CD=
故答案为：
（1）求AD与平面ABC所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离．
正确答案
解：（1）如图，
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，
所以
所以AD与平面ABC所成角的大小为45°；
（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得
则
=
=
由VA-BCD=VB-ACD，得
所以点B到平面ACD的距离为
解析
解：（1）如图，
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，
所以
所以AD与平面ABC所成角的大小为45°；
（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得
则
=
=
由VA-BCD=VB-ACD，得
所以点B到平面ACD的距离为
（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（2）求异面直线PC与BD的夹角大小．
正确答案
解：（1）因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是PB与平面ABCD所成角．
因为正方形ABCD的边长为1，
所以BD=
所以在△PDB中，BD=
所以tan∠PBD=
所以PB与平面ABCD所成角的大小为arctan
（2）连接AC交BD于点O，取AP的中点为E，连接DE，OE，
因为四边形ABCD为正方形，
所以点O为AC的中点，
又因为E为AP的中点，
所以OE∥PC，并且OE=
所以∠EOD与所求角相等或互补．
因为正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
所以PC=AP=
所以OE=DE=
在△OED中，cos∠EOD=
所以异面直线PC与BD的夹角大小为arccos
解析
解：（1）因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是PB与平面ABCD所成角．
因为正方形ABCD的边长为1，
所以BD=
所以在△PDB中，BD=
所以tan∠PBD=
所以PB与平面ABCD所成角的大小为arctan
（2）连接AC交BD于点O，取AP的中点为E，连接DE，OE，
因为四边形ABCD为正方形，
所以点O为AC的中点，
又因为E为AP的中点，
所以OE∥PC，并且OE=
所以∠EOD与所求角相等或互补．
因为正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
所以PC=AP=
所以OE=DE=
在△OED中，cos∠EOD=
所以异面直线PC与BD的夹角大小为arccos
A
B
C
D
正确答案
解析
解：分别以AB，AC，AA1为x，y，z建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则AA1=4，
则B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，4），D（0，0，2），M（1，1，0），
所以
设侧面B1BCC1法向量为
所以
所以cos＜
所以DM与侧面B1BCC1所成的角正弦值为
故选D．
（Ⅰ）求C1D与平面EDB所成角的大小；
（Ⅱ）C1到平面EDB的距离．
正确答案
解：建立如图所示坐标系．
则B（0，0，0），C（2，0，0），D（2，-2，0），A（0，-2，0），E（0，-2，1），C1（2，0，2）．
所以
（Ⅰ）：设平面BDE的法向量
则有
∴
设C1与平面BDE所成角为θ．
则sinθ=|cos＜
所以θ=60°，即C1D与平面EDB所成角为600．
（Ⅱ）：设点C1到平面BDE的距离为h．
则由sinθ=
得h=2×
即C1到平面EDB的距离为
解析
解：建立如图所示坐标系．
则B（0，0，0），C（2，0，0），D（2，-2，0），A（0，-2，0），E（0，-2，1），C1（2，0，2）．
所以
（Ⅰ）：设平面BDE的法向量
则有
∴
设C1与平面BDE所成角为θ．
则sinθ=|cos＜
所以θ=60°，即C1D与平面EDB所成角为600．
（Ⅱ）：设点C1到平面BDE的距离为h．
则由sinθ=
得h=2×
即C1到平面EDB的距离为
（Ⅰ）用基向量
（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．
正确答案
=
=-
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（
设
因为
取x=1，则
因为
所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为
解析
=
=-
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（
设
因为
取x=1，则
因为
所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．
正确答案
设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
从而
因为AC⊥BD，所以
解得
于是
因为
（2）由（1）知，
设
令
设直线EF与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为
解析
设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
从而
因为AC⊥BD，所以
解得
于是
因为
（2）由（1）知，
设
令
设直线EF与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为
正确答案
arcsin
解析
解：
∵正方形ABCD
∴AC⊥BD
而PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥PD而PD∩BD=D
∴AC⊥面PDB
∴∠APO为PA与平面PBD所成角
AO=3
∴sin∠APO=
∴PA与平面PBD所成角的大小为arcsin
故答案为：arcsin
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1在空间作直线l，使l与平面BB1D1D和直线BC1所成的角都等于
正确答案
解析
解：因为几何体为正方体，
所以BC1∥AD1，
所以l直线BC1所成的角等于角A1D1A=
又因为直线A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，
所以A1C1⊥平面BB1D1D，
所以角A1D1B1是A1D1与平面BB1D1D所成的角，为45°，
所以过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1在空间作直线l，使l与平面BB1D1D和直线BC1所成的角都等于
故选A．
如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；
（2）求直线AC1与面BCC1B1所成角的正弦值．
正确答案
∴BB1⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中点；
∴AD⊥BC，BC∩BB1=B；
∴AD⊥平面BCC1B1；
（2）连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1；
则∠AC1D即为直线AC1与面BCC1B1所成角；
在直角△AC1D中，
即直线AC1与面BCB1C1所成角的正弦值为
解析
∴BB1⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中点；
∴AD⊥BC，BC∩BB1=B；
∴AD⊥平面BCC1B1；
（2）连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1；
则∠AC1D即为直线AC1与面BCC1B1所成角；
在直角△AC1D中，
即直线AC1与面BCB1C1所成角的正弦值为
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