热门试卷

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF．

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线．

（II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，

垂足H在BE上．

易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

又OH⊥BE，故OH∥DE，

因此OH⊥面MAE．

连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角

设AB=a，则PA=3a，．

因Rt△ADE～Rt△PDA，故

，

．

从而在Rt△AHO中

．

解：（Ⅰ）

连接A1B交AB1于O，连接OD

∵四边形ABB1A1为正方形

∴O为A1B的中点

又∵D是BC中点

∴OD∥A1C

∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D

∴A1C∥平面AB1D

（Ⅱ）过A1作A1E⊥B1C1，E，连接CE

∵平面A1B1C1⊥平面BCC1B1

平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1

∴A1E⊥平面BCC1B1

∴CE为直线A1C在平面BCC1B1上的投影

∴∠A1CE为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，

在Rt△A1C1C中

A1C==，

在△A1B1C1中

A1E=2

在Rt△A1CE中，sin∠A1CE==

（Ⅲ）当=时，DF⊥A1C

在正方形BCC1B1中，D，E分别是BC，B1C1的中点

∴==，

∴Rt△CDF∽Rt△C1CE

∴∠CDF=∠C1CE

∵∠CDF+∠CFD=，

∴∠C1CE+∠CFD=，

∴DF⊥CE

由（Ⅱ）可知A1E⊥平面BCC1B1

DF⊂平面BCC1B1，∴A1E⊥DF

∵A1E∩CE=E，∴DF⊥平面A1CE

∵A1C⊂平面A1CE

∴DF⊥A1C

在Rt△ADF中 AF==．

解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，BC=PC=1，PB=，

∴BC2+PC2=PB2，

∴∠PCB=90°，即PC⊥BC，

∵AB⊥PC，AB∩BC=B，

∴PC⊥平面ABCD．

（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知PC⊥平面ABCD

∴AC为PA在平面ABCD内的射影，

∴∠PAC为PA与平面ABCD所成的角．

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，

∴，

在△PAC中，，

∴，

∴PA与平面ABCD所成角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知PC⊥BC，

又BC⊥CD，PC∩CD=C，

∴BC⊥平面PCD．

如图，过C作CM⊥D于M，连接BM，

∴CM是BM在平面PCD内的射影，

∴BM⊥PD，

∴∠CMB为二面角B-PD-C的平面角．

在△PCD中，∠PCD=90°，PC=1，CD=2，

∴，

又CM⊥PD，∴PD•CM=PC•CD，

，

在△CMB中，∠BCM=90°，BC=1，，

∴，

∴二面角B-PD-C的大小为．

解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，

∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，

又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），

∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，

即16-OC2+4-OC2=16，得OC=，

则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）

∴S△ABC==2．

∴VP-ABC==．…（6分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系．

得O（0，0，0），A（0，-，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）

∴=（-），=（-，0，），

设平面PBC的法向量=（x，y，z）．

则，取z=1，得=（，，1）．（10分）

∵=（），

∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）

解：（1）连接BP，∵AB⊥平面BCC1B1，∴BP是AP在面BCC1B1上的射影

∴∠APB即为直线AP与平面BCC1B1所成角

∵AB=1，BC=1，，∴

，

（2）连接AC、D1C，则

=