- 直线、平面平行的判定及其性质
- 共5998题
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
正确答案
解：（1）过F作FG⊥AB，
∵四边形ABEF为等腰梯形，且AB=2，AF=EF=1，
∴AG=
∵余弦定理得BF=
∴AF2+BF2=AB2，
即AF⊥BF，
∵矩形ABCD，∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴AF⊥面CBF，
∵AF⊥面DAF，
∴平面DAF⊥平面CBF
（2）连结OC，则AM∥OC，
则直线OC与平面CBF所成的角即可为直线AM与CBF所成的角，
取BF的中点H，连结OH，
∵O，H分别是AB，BF的中点，∴OH∥AF，
由（1）知，AF⊥面CBF，
∴OH⊥面CBF，
即∠OCH即为所求角，
设AD=t，则OC=AM=
则sin∠OCH=
∴AD=2．
解析
解：（1）过F作FG⊥AB，
∵四边形ABEF为等腰梯形，且AB=2，AF=EF=1，
∴AG=
∵余弦定理得BF=
∴AF2+BF2=AB2，
即AF⊥BF，
∵矩形ABCD，∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴AF⊥面CBF，
∵AF⊥面DAF，
∴平面DAF⊥平面CBF
（2）连结OC，则AM∥OC，
则直线OC与平面CBF所成的角即可为直线AM与CBF所成的角，
取BF的中点H，连结OH，
∵O，H分别是AB，BF的中点，∴OH∥AF，
由（1）知，AF⊥面CBF，
∴OH⊥面CBF，
即∠OCH即为所求角，
设AD=t，则OC=AM=
则sin∠OCH=
∴AD=2．
求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）求点C到平面BDC1的距离及直线B1D与平面CDD1C1所成的角．
正确答案
解：（1）如图所示，
则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（1，1，0），D1（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴
∴
∴异面直线BD与AB1所成角=
（2）由（1）可知：
设平面BDC1的法向量为
则
∴
∴点C到平面BDC1的距离d=
（3）由（1）可知：
∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴可取
设直线B1D与平面CDD1C1所成的角为θ．
则sinθ=
解析
解：（1）如图所示，
则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（1，1，0），D1（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴
∴
∴异面直线BD与AB1所成角=
（2）由（1）可知：
设平面BDC1的法向量为
则
∴
∴点C到平面BDC1的距离d=
（3）由（1）可知：
∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴可取
设直线B1D与平面CDD1C1所成的角为θ．
则sinθ=
在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心，若AA1=3AB，则直线AE与平面BB1CC1所成角的大小为（ ）
正确答案
解析
因为三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心，
所以ED⊥BC，AD⊥BC，所以AD⊥平面EBC，∠AED就是直线AE与平面BB1CC1所成角，
∵AA1=3AB，∴ED=
∴tan∠AED=
∠AED=30°．
故选A．
二面角α-l-β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
过点A作AC⊥β，垂足为C，作CD⊥l，垂足为D，连接AD，BC．
则l⊥AD．
∴∠ADC是二面角α-l-β的平面角，大小为45°．
∠ABC是直线AB与β所成角．
不妨取AD=
在Rt△ACB中，sin∠ABC=
∴∠ABC=30°．
故选：A．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ） 设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．
正确答案
∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PFC
∵PE⊂平面PEC
∴平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ）解：如图，建立坐标系，则
A（
∵
∴
∴
设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴sinθ=|cos
解析
∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PFC
∵PE⊂平面PEC
∴平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ）解：如图，建立坐标系，则
A（
∵
∴
∴
设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴sinθ=|cos
（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
正确答案
解：（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
∵BE⊥B1C，
∴可得
∴E（0，2，1），且
又∵
∴
且
∴
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
又∵
∴
因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为
解析
解：（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则
∵BE⊥B1C，
∴可得
∴E（0，2，1），且
又∵
∴
且
∴
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
又∵
∴
因此，可得A1B与平面BDE所成角的正弦值为
已知平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AB⊥CD，且AB=2，直线AB与平面α所成的角为60°，则线段CD长的取值范围为（ ）
A[2，+∞）
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，A在α平面，当A和C重合时，B、D在β平面上，A、B、D构成直角三角形，一内角为60°，此时CD最小为2
当CD与两个面近似平行时，达到无限长．
∴线段CD长的取值范围为
故选C．
把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A
B
C1
D
正确答案
解析
∵BD=CD，
∴DF⊥BC，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D
∴AD⊥平面BCD，
∵BC⊂平面BCD，
∴AD⊥BC，
∴BC⊥平面ADF，
∴BC⊥DE，
∵DE⊥AF，BC∩AF=F，
∴DE⊥平面ABC，
∴∠DBE为BD与平面ABC所成角，
设AB=1，则BD=AD=
∴BC=1，
∴AF=
∴在Rt△ADF中，DE=
∴在Rt△BED中，BE=
∴tan∠BDE=
故选：B．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是AB、BC的中点，求：A1C1与平面B1EF所成的角．
正确答案
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
∴EF∥A1C1，
∵EF⊂平面B1EF，A1C1⊄平面B1EF，
∴A1C1∥平面B1EF，
∴A1C1与平面B1EF所成的角为0°．
解析
∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵ACC1A1是平行四边形，
∴AC∥A1C1，
∴EF∥A1C1，
∵EF⊂平面B1EF，A1C1⊄平面B1EF，
∴A1C1∥平面B1EF，
∴A1C1与平面B1EF所成的角为0°．
（Ⅰ）试在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′；
（Ⅱ）当点M在棱CC′中点时，求直线AB′与平面A′BM所成角的大小．
正确答案
解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，
∴B‘D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′，只要过A'作A'M⊥AD'交CC'与点M；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2
所以A（0，0，0），B'（
M（0，2，
所以
设平面A'BM的一个法向量为
则
cos＜
所以当点M在棱CC′中点时，直线AB′与平面A′BM所成角的大小为arcsin
解析
解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，
∴B‘D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′，只要过A'作A'M⊥AD'交CC'与点M；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2
所以A（0，0，0），B'（
M（0，2，
所以
设平面A'BM的一个法向量为
则
cos＜
所以当点M在棱CC′中点时，直线AB′与平面A′BM所成角的大小为arcsin
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