热门试卷

（1）解法一：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E（如图），则PE∥AA1，

∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．

在Rt△AA1D中，∵∠AD1A1=60°，∴∠A1AD1=30°，

∴A1B1=A1D1=AD1=2，A1E=A1D1=1．

又PE=AA1=．

∴在Rt△B1PE中，B1P==2，

cos∠B1PE===．

∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．

解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，0），A（0，0，2），B1（2，0，0），P（0，1，），∴=（0，0，2），=（-2，1，），

∴cos＜，＞==

∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．

（2）由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1，

∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1==，

当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时A1P⊥AD1，由A1P==，得tan∠B1PA1=，

即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为．

解：如图，PM⊥AC，PN⊥BC，PM=PN=，过P作平面ABC的垂线PO，O为垂足，连接OM，ON，CO，则：∠PCO为PC和平面ABC所成角，且OM=ON；

PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC；

∴AC⊥PO，又AC⊥PM；

∴AC⊥平面PMO，OM⊂平面PMO；

∴AC⊥OM，同理BC⊥ON；

∴CO为∠ACB的平分线，∴∠NCO=45°；

在Rt△PCN中，PC=24，PN=；

∴；

∴；

∴在Rt△PNO中，PO=；

∴在Rt△PCO中，sin∠PCO=；

∴∠PCO=30°；

∴PC与平面ABC所成角为30°．

解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）

∴，

∴COS＜＞==-                …（5分）

所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）

（2）设平面ABC的法向量为 则

知

知取，…（8分）

则…（10分）

故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）

（1）证明：连接BD，∵在△PBD中，E，F分别为PB、PD中点，

∴EF∥BD-----（2分）

又EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD----------（6分）

（2）解：取AD中点G，连接CG、PG．

∵四边行ABCD中，BC∥AD，AD=2BC．

∴CG∥AB-----------（8分）

又∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD∴CG⊥平面PAD

∴∠GPC是PC与平面PAD所成的角-------------------（11分）

设PA=2a，则AB=CG=2 a，BC=AG=a，AC=a，∴PC==3a

在RT△PGC中，sin∠GPC=

∴∠GPC=arcsin

即PC与平面PAD所成的角是arcsin----------------（13分）

（Ⅰ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，

∴CC1⊥平面ABCD，

∴BD⊥CC1

∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC

又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1．（6分）

（Ⅱ）解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，

又在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∵AC∩AA1=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∴∠BCO为直线BC与平面ACC1A1所成的角，

在正方形ABCD中，由题意知∠BCO=45°，

∴直线BC与平面ACC1A1所成角为45°．（12分）