热门试卷

（1）证明：因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，

△SAB中，勾股定理有SB=．

因为AM=，三角形为直角三角形，所以M为SB中点，

又D为BC中点，所以DM为三角形SBC中位线，

所以DM∥SC，

因为SC⊄面ADM，DM⊂面ADM，

所以SC∥面ADM；

（2）解：∵三棱锥S-ABC的体积为，∴AB×AC×SCsinBAC=，则∠BAC=120°

△BAC为等腰三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，SD⊥BC，

故SC与平面SAD夹角为∠SCD，

∵CD=，SC=，∴SD=，

∴sin∠SCD=，

∵DM∥SC，

∴直线DM与平面SAD所成角的正弦值为．

（1）证明：连接AC，CD1，AC∩BD=Q

∵P、Q分别是AD1、AC的中点

∴PQ∥CD1，

∵CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1；

（2）解：由（1）知PQ∥CD1，∴PQ与平面BB1D1D所成角等于CD1与平面BB1D1D所成角

连接D1Q，由AC⊥BD，AC⊥DD1，得AC⊥平面BB1D1D，∴∠CDQ1是CD1与平面BB1D1D所成角

在直角△CDQ1中，sin∠CDQ1==

∴∠CDQ1=30°

∴PQ与平面BB1D1D所成角等于30°．

解：（Ⅰ）投影一的面积为2×2=4；投影二的面积为2×2=4；投影三的面积为2×2=4；

（Ⅱ） 直线BF与ED1不相交，是异面直线；

取BC的中点，则EG∥D1F，

∴∠BEG是直线BE与D1F所成角，

∵BG=1，BE=，

∴直线BE与D1F所成角的正弦值为．

故答案为：4，4，4，不．

（1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME．

∵AB=AD=，

∴AM⊥BD

∵DB=2，DC=1，BC=，

DB2+DC2=BC2，

∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，

∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线

∴ME∥CD，ME=CD，

∴ME⊥BD，ME=，

∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，

∴∠AME=60°…（3分）

∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，

∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM，

∴BD⊥AE

∵AB=AD=，DB=2，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴AM=BD=1，

∴AAE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=，

∴AE=，

∴AE2+ME2=1=AM2，

∴AE⊥ME=M，

∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC，

∴AE⊥平面BDC   …（6分）

（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，

则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，，0），A（0，，），D（-1，0，0），C（-1，1，0），

∴=（1，，），=（0，1，0），=（0，0，-），…（8分）

设平面ACD的法向量为=（x，y，z）

则，∴=（，0，-2），

设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα==  …（10分）

∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为       …（12分）

（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．

在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，

连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，

从而BM∥AF．

所以BM⊥平面CDE．

又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）

（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线

EF与平面CBE所成的角…（11分）

设AB=1，则，在Rt△EFN中，．

故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）

法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图

所示．F（0，0，0），E（1，0，2），，C（-1，0，0），平面CBE的一个法向量

为…（11分）

则   =

故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）

（1）证明：连接BD，取AE中点M，连接BM，DM．

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点

∴△ABE与△ADE都是等边三角形

∵M是AE的中点，

∴BM⊥AE，DM⊥AE   

∵BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM

∴AE⊥平面BDM

∵BD⊂平面BDM

∴AE⊥BD；                  

（2）解：EP与平面BAD不平行．

取BE的中点F，连接PF

∵P是棱BC的中点

∴PF∥CE

∵AD∥CE

∴PF∥AD

∵PF⊄平面BAD，AD⊂平面BAD

∴PF∥平面BAD

若EP∥平面BAD

∵FP∩EP=P

∴平面BEC∥平面BAD

这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾

∴EP与平面BAD不平行．

（3）解：以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB为x，y，z，设AE=2，则

E（1，0，0），B（0，0，），D（0，，0），C（2，，0）

∴，，

设平面BCD的法向量为

∴

∴

∴平面BCD的法向量可以为（0，1，1）

设直线EB与平面BCD所成的角为α，则

∴

∴

（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，AB∥EF，

∴CD∥EF．

又∵CD=EF，

∴四边形CDFE是平行四边形．

∴CE∥DF，

又CE⊄平面ADF，DF⊂平面ADF．

∴CE∥平面ADF．

（Ⅱ）解：如图所示，取AB的中点O，连接OE，OD．

由题意可得EO⊥平面ABCD，OD⊥平面ABEF．

建立空间直角坐标系．

可得B（0，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．

=（1，1，0），=（-1，0，1），=（-1，1，1）．

设平面BDE的法向量为=（x，y，z），

则，取=（1，-1，1）．

设直线DF与平面BDE所成角为θ，

则sinθ====．