热门试卷

解：（1）证明：

如图，取A1C中点G，连接FG，EG；

∵F为AC中点，E为BB1中点；

∴FG∥AA1∥BE，且FG=BE；

∴四边形BEGF为平行四边形；

∴BF∥EG，EG⊂平面A1CE，BF⊄平面A1CE；

∴BF∥平面A1CE；

（2）在平面ABC内，过A作AH⊥AB，则三直线AH，AB，AA1两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

A1（0，0，6），E（0，4，3），F（），C（）；

设平面A1EF的法向量为，则；

∴；

∴，取z=1，则；

，设直线CE与平面A1EF所成角为θ，则：sinθ=|cos|=；

∴直线CE与平面A1EF所成角的正弦值为．

解：（1）∵平面EAD⊥平面ABCD，EG⊥AD，

∴EG⊥平面ABCD，且EG=

以GE为z轴、AD为y轴建立如图所示

空间直角坐标系，

则E（0，0，），D（0，1，0），

C（2，1，0），F（，-1，0）．．

∴

∴CF⊥FG，CF⊥EF，则CF⊥平面EFG．

（2）∵

∴．

由（1）知=为平面EFG的一个法向量，

∵

∴

∴DP与平面EFG所成的角为．

解：（1）由题意，A（，0，0），C1（0，2，1），

设M（x，y，z），则=（，-2，-1），=（x，y-2，z-1），

∵=λ，

∴（，-2，-1）=λ（x，y-2，z-1），

∴x=，y=2-，z=1-，

∴M（，2-，1-）；

（2）=（-，-，1-），面ABC的法向量为（0，0，1）．

∵直线BM与面ABC所成角为60°，

∴sin60°=，

∵λ＞0，

∴λ=4-1．

解：（1）取PB中点M，连接DE，EM，AM，

∵AD=BC，E为PC的中点，

∴EM∥BC，EM=，

∴AD∥EM，AD=EM，

即四边形ADEM为平行四边形，

∴DE∥AM，

∵ED⊂平面PAB，AM⊄平面PAB；

∴DE∥平面PAB；

（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴，直线PB与平面PAD所成角的大小θ．

PD：DC：BC=1：1：．

设DC=1，则DP=1，DA=，BC=，

∴P（0，0，1），A（，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），

∴=（，1，-1），=（，0，0），=（0，0，1），

设=（x，y，z），∴

即x=0，z=0，y=1

∴=（0，1，0），

∵=1，|=1，||=2，

∴cos＜，＞==，

∴sinθ=，

即θ=

（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，

因为AD⊂平面PAB，

所以BC⊥AD．…（2分）

又AD⊥PB，BC∩PB=B，

所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）

又PC⊥AE，AD∩AE=A，

所以PC⊥平面ADE，

因为DE⊂平面ADE，

所以PC⊥DE…（6分）

（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．   …（7分）

设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），

因为PC⊥平面ADE，所以是平面ADE的一个法向量，

所以向量所成的角的余弦值的绝对值为，…（9分）

又

则，解得a=1

所以PA=1…（12分）

（I）证明：由已知：FD⊥平面ABCD，∴FD⊥CD．

∵CD⊥AD，AD∩FD=D，

∴CD⊥平面AEFD，∴EF⊥CD，

设FD=2EA=2AD=2，∴DE=EF=，

∴DF2=DE2+EF2，

∴EF⊥ED，

∵CD∩ED=D，∴EF⊥平面DCE，

∵EF⊂平面EFC，

∴平面EFC⊥平面DCE；

（Ⅱ）解：以DA，DF，DC为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，设AD=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），E（1，1，0），C（0，0，1），

∴=（1，1，-1），=（1，0，1），=（1，1，0），

设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，

取=（1，-1，-1），

∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值=||=．

解：（1）连接A1C1，交B1D1于O1在矩形ACA1C1中，易得O1C1∥A0，且O1C1=A0

∴四边形AOC1O1为平行四边形

∴AO1∥OC1，∵AO1⊂平面AB1D1；

∴C1O∥平面AB1D1；

（2）∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，

∴B1D1⊥平面A1C，

∴平面AB1D1⊥平面A1C，交线为AO1；

∴点C在平面AB1D1⊥上的射影一定在交线AO1上

∴∠O1AO就是直线AC与平面AB1D1所成的角

在Rt△O1OA中，AO=，O1O=|AB|

∴tan∠O1AO=

∴直线AC与平面AB1D1所成的角为arctan

解：（I）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

（II）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线

设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29

求得x=2

∴PC=P1C=2

∵

∴

（III）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

在Rt△PHC中，∵，∴

在Rt△NCH中，

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan