热门试卷

（1）证明1：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（1分）

记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB=BC，所以BE⊥AC．

因为，AC=4，所以．…（3分）

因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．

因为，CD=3，

所以．…（4分）

连接BD，在Rt△BDE中，因为，DE=1，

所以．…（5分）

因为PD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD．

在Rt△PBD中，因为，，

所以．…（6分）

在△PBC中，因为，，，

所以BC2+PB2=PC2．

所以△PBC为直角三角形．…（7分）

证明2：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，

所以PD⊥平面ABC．…（1分）

记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB=BC，所以BE⊥AC．

因为，AC=4，所以．…（3分）

连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90°，，DE=1，

所以．…（4分）

在△BCD中，因为CD=3，，，

所以BC2+BD2=CD2，所以BC⊥BD．…（5分）

因为PD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥PD．…（6分）

因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．

因为PB⊂平面PBD，所以BC⊥PB．

所以△PBC为直角三角形．…（7分）

（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角．…（8分）

由（1）知，△ABC的面积．…（9分）

因为，所以=．…（10分）

由（1）知△PBC为直角三角形，，，

所以△PBC的面积．…（11分）

因为三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，即VA-PBC=VP-ABC，

即，所以．…（12分）

在Rt△PAD中，因为，AD=1，

所以．…（13分）

因为．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）

解法2：过点D作DM∥AP，设DM∩PC=M，则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．…（8分）

由（1）知BC⊥PD，BC⊥PB，且PD∩PB=P，所以BC⊥平面PBD．

因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．

过点D作DN⊥PB于点N，连接MN，则DN⊥平面PBC．

所以∠DMN为直线DM与平面PBC所成的角．…（10分）

在Rt△PAD中，因为，AD=1，

所以．…（11分）因为DM∥AP，所以，即，所以．…（12分）

由（1）知，，且，

所以．…（13分）

因为，

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）

解法3：延长CB至点G，使得BG=BC，连接AG、PG，…（8分）

在△PCG中，，所以∠CPG=90°，即CP⊥PG．

在△PAC中，因为，PA=2，AC=4，所以PA2+PC2=AC2，

所以CP⊥PA．

因为PA∩PG=P，所以CP⊥平面PAG．…（9分）

过点A作AK⊥PG于点K，

因为AK⊂平面PAG，所以CP⊥AK．

因为PG∩CP=P，所以AK⊥平面PCG．

所以∠APK为直线AP与平面PBC所成的角．…（11分）

由（1）知，BC⊥PB，所以．

在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，

所以．…（12分）

在△PAG中，PA=2，，，

所以PA2+AG2=PG2，即PA⊥AG．…（13分）

因为．

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…（14分）

解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz，…（8分）

则A（0，-2，0），，C（0，2，0），．

于是，，．

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则

（1）证明：由已知条件易得：，则BD⊥AD，

又平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

故BD⊥平面ADP，

又AP⊂平面ADP，从而有AP⊥BD…（6分）

（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OB，并取OB中点H，连接AH，EH，

∵PA=PD，∴PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

又 EH∥PO，

∴EH⊥平面ABCD

则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角

由（1）AP⊥BD，又AP⊥PD，PD∩BD=D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB，∴∴∴，

直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为．…（14分）

解：由题意，可得体积，

∴AA1=CC1=2．

连接BC1．

∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，

∴A1C1⊥平面BB1C1C，

∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．，

∴，

则∠A1BC1=；

即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为．

解：（1）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由AB=AC=1，PA=2，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D（，0，0），E（，，0），F（0，1），∴=（0，0，2），=（0，，0），=（-，，1），

设面DEF的法向量为=（x，y，z）．

则取z=1，则=（2，0，1），

设PA与平面DEF所成角为θ，则sin θ=||=．

（2）∵=（0，，-1），=（2，0，1），

∴点P到平面DEF的距离d==．

解：（Ⅰ）证明：连接D1E，，BB1=DD1

∴BE∥HD1，BE=HD1，即BED1H为平行四边形

∴BH∥ED1

∵BH⊄平面A1EFD1，ED1⊂A1EFD1

∴BH∥A1EFD1（7分）

（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．

∵A1D1⊥平面A1ABB1，AG⊆A1ABB1∴A1D1⊥AG，

EA1∩A1D1=A1∴AG⊥平面A1EFD1．

连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）

在△AA1G中，AG•EA1=AA1•AB

∴

连接AC则∴

∴

∴F与平面A1EFD1所成的角的正弦值为（14分）