热门试卷

证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．

∴EO为△ABD1的中位线

∴EO∥BD1…（2分）

又∵BD1⊄平面A1DE，OE⊂平面A1DE

∴BD1∥平面A1DE…（4分）

（2）由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AB⊥A1D，

∵正方形AA1D1D

∴A1D⊥AD1，

AB∩AD1=A

∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E

∴A1D⊥D1E…．（4分）

（3）（文科）∵

∴

∴

∵

设D1E与平面A1DE所成角为α

∴

∴

…（6分）

（1）证明：取AB中O，连接EO，DO．

∵EB=EA，∴EO⊥AB．

∵四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，

∴四边形OBCD为正方形，∴AB⊥OD．

又∵EO∩OD=O，∴AB⊥平面EOD．

∴AB⊥ED．

（2）∵平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，

∴BC⊥平面ABE．

则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．

设BC=a，则AB=2a，，∴，

在直角三角形CBE中，．

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．

解：（1）如图．作DH⊥BC于H，在直角△DHC中，DH=AB=，HC=3，∴DC=2，又在直角△BAD中，BD=2，在△BDC中，BD2+DC2=BC2，∴BD⊥DC，

∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD

∴平面PCD⊥平面ABCD，

∴BD⊥平面PCD，PC⊂平面PCD

∴BD⊥PC；

（2）由（1）可得DH∥AB∴DH与平面PDC所成角的平面角即为AB与平面PDC所成角

过G作GH垂直DC于G，

∵平面PCD⊥平面ABCD，∴HG⊥平面PCD

∠HGD为直线AB与平面PDC所成角的平面角．

在直角三角形△DHC中，sin∠HGD=，∠HGD=

直线AB与平面PDC所成角的大小为．

解：（1）如图，连接PM，PB1，PN，根据已知条件：

，；

∵；

则P到平面B1MN的距离为9；

（2）以D为坐标原点，边DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：

M（），，N（），；

∴，，；

设平面B1MN的法向量为，则：

；

；

∴，取z=1，则；

若设PC和平面B1MN所成角为θ，则：sinθ=|cos＜＞|=；

∴；

∴PC与平面B1MN所成角的大小为arcsin．

（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，

∵AB=AD=4，

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD

又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC

∴BD⊥平面PAC…（6分）

（Ⅱ）解：如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC，并取AO中点F，连接EF，

∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC

∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，

由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且，，

又PE=2，，设CH=x，则有，

又∵F为AO的中点，在Rt△EFH中，，EF=1

由勾股定理得，，解得，

∴EH=，PH=

∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值为．

（理）解法一：如图1以A1为原点，A1B1所在直线为x轴，

A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建系，

则A（0，0，1），D（），则=（），（2分）

设平面A1BC1的一个法向量=（x，y，z），

∵=（0，1，0），=（1，0，1），

∴，取x=1，得=（1，0，-1），（6分）

设AD与平面A1BC1所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜＞|=||=．（10分）

∴AD与平面A1BC1所成的角为．（12分）

解法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1．

由AA1⊥平面A1B1C1，得AA1⊥A1C1．

又A1C1⊥A1B1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1．

从而得  AB1⊥平面A1BC1，（4分）

设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点．

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形．

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG．

知AB1⊥平面A1BC1，∴OG是AD在平面A1BC1上的射影，

于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角．（6分）

在直角△AOG中，AG=，AD=，AB1=AB，AO=AB，

∴sin∠AGO==．（10分）

故∠AGO=，即AD与平面A1BC1所成的角为．（12分）