热门试卷

（1）证明：∵点E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DC，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，

∴EF⊥平面PBE，

∵EF⊂平面PEF，

∴平面PBE⊥平面PEF．

（2）解：在△PBE中作PO⊥BE，垂足为O，则

∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，

∴PO⊥平面PBE，

连接OF，则∠PFO为直线PF与平面BCDE所成的角．

设AB=4，由（1）得PB=4，PE=2，BE=2，PO=，OE=AO=，

∵OE⊥EF，∴EF=，OE=，

∴OF=，

∴tan∠PFO==．

解：（1）正方体ABCD中，

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴MN⊥AD

又∵PA⊥平面α，MN⊂α，

∴PA⊥MN，

∴MN⊥平面PAD

又MN⊂平面PAD，平面PMN⊥平面PAD…（5分）

（2）由上可知：MN⊥平面PAD，则CD⊥平面PAD

∴MQ⊥CD，又因为MQ⊥PD，MQ⊥面PCD

∠MPQ是PM与平面PCD所成的角．…（8分）

PA=2，AD=2，则AM=1，PM=

PD=2，MQ=…（12分）

证明：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE

∴DP⊥平面PEF

∴PD⊥EF 

（2）取EF中点G，连DG，作PH⊥DG于H

∵E、F为中点

∴△ADE≌△CDF，故DE=DF，从而DG⊥EF

同理：EF⊥PG

又PG∩DG=G

∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，从而PH⊥平面DEF

∴PD与平面DEF所成角为∠PDG

设正方形ABCD边长为2，则

PD=2，DE=DF=，EF=，DG=

在Rt△PDG中，

（1）证明：如图所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．

∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．

由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．

又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，

∴PE⊥平面ABCD．

而PE⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD．

（2）解：以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，-1，0），C（，0，0），D（，-2，0），P（0，0，1），

=（，-2，-1），=（，0，0），

∴PD与平面PAB所成角的正弦值为=，

∴PD与平面PAB所成角正切值为．