热门试卷

解  （1）∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE．

作D′O⊥AE于O，连 OB，

∴D′O⊥平面ABCE．             

∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角．

∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°

∴O是AE的中点，

AO=OE=D′O=a，∠D′AE=∠BAO=45°．…（2分）

∴在△OAB中，OB==a．

∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO==．…（4分）

（2）连接BE

∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E．

∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，…（6分）

∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′．…（8分）

（3）C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半即BE=a…（12分）

解：（1）证明：在△ABC中，∵D为AB的中点，且AC=BC，∴AB⊥CD，

同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）

（2）由（1）知，点P在平面ABC上的射影在直线DC上，所以∠PCD为所求角．

在△PCD中PD=，PC=，CD=．由余弦定理得：cos∠PCD=

解：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE⊂平面ABC∴AD⊥CE，

又∵△ABC为正三角形，E为AB的中点，

∴CE⊥AB而AB∩AD=A

∴CE⊥平面ABD，又CE⊂平面CDE

∴平面CDE⊥平面ABD

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面CDE⊥平面ABD，

∴AD在平面CDE上的射影为DE，所以∠ADE即为所成的角．

△ADE为Rt△，且AE=2，AD=3，∴∴，即直线AD与平面CDE所成的角为

（Ⅲ）取BC的中点M，连接DM，过A点在平面DAM内作AN⊥DM于N

证得BC⊥平面DAM，所以AM⊥平面BCD

AM=，DM=，

利用等面积可知，DM•AN=DA•AM

所以

∴

（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连结BE．

∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…（2分）

∴BE∥AD且BE=AD=4k．

在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE2+CE2=BC2，

∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．                                              …（4分）

∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩AD=A，

∴CD⊥平面ADD1A1．…（6分）

（Ⅱ）解：以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），

所以=（-4k，6k，0），=（0，3k，1），=（0，0，1）．

设平面AB1C的法向量=（x，y，z），

则

取y=2，得=（3，2，-6k）（k＞0）．　　　　　　　　　　　　…（9分）

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|=，

解得k=1，故所求k的值为1．…（12分）

解：（1）如图，以B为原点，BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A1（0，2，），A（0，2，0），，

∴，，

∴•=0+3-3=0，

即⊥，∴⊥；

（2）∵x轴⊥面AA1B1B，∴面AA1B1B的法向量取n=（1，0，0），

设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ，

∴，

∴直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为．

（1）证明：取AC的中点O，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC…（1分）

又△AA1C是正三角形，

∴A1O⊥AC，BO∩A1O=O，…（2分）

∴AC⊥平面A1BO…（3分）

又A1B⊂平面A1BO，

∴AC⊥A1B…（4分）

（2）解：设AC=a，则

∵三棱锥A-A1BC的体积是，

∴=，

∴a=3…（6分）

建系如图，则A（0，-，0），B（0，0，），C（0，，0），A1（，0，0），

∴=（-，，0），=（0，，），=（，，0），=（0，-，），…（8分）

设面ABA1法向量为=（x，y，z），则

得：=（，-1，1）…（10分）

设直线BC和面ABA1所成角为θ，则sinθ==．…（12分）

解：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

（1）当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．

（2）当a=4时，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），

则=（0，2，-2），=（4，0，0），=（0，2，0）．

设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，

即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，

得x=0，y=z，不妨取y=1，故=（0，1，1）．

则D点到平面PBC的距离d==．

（3）由（2）知，=（-4，0，2），

则cos＜，＞==＞0，

设＜，＞=α，直线PD与平面PBC所成的角为θ，

则sinθ=sin（-α）=cosα=．

所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin．